Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,55 kW із частотою 960 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 2. Черв’ячне колесо має 45 зубців, ККД передачі 50 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 45n = 960 rpmP = 0,55 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 125 мм і шків 315 мм, центри яких розташовані на відстані 600 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 125 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 75 mm, внутрішній діаметр 38 mm, довжина 2 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 200 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 200 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 75 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 35° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 40 mm через 4 циклів іде пік 5,3 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 5,3 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 20 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 15 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 61,55 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 960·2/45 = 42,67 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·42,67/60 = 4,468 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·550/4,468 = 61,55 N·m

Відповідь

T_w = 61,55 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 161,8 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,1583) = 9,11°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·9,11 = 161,8°

Відповідь

θ = 161,8°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,3038 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(26000·2,902 × 10⁶) = 0,005302 rad

φ = 0,005302·180/π = 0,3038°

Відповідь

φ = 0,3038°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 106,5 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 106,5 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(45,99, 106,5) = 106,5 mm

Відповідь

d = 106,5 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −24,89 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −30 − 40·0,342 − (−20)·0,9397 = −24,89 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −35,11 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −24,89 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −35 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 15 + 25·0 + 50·−1 = −35 MPa

Відповідь

σ_θ = −35 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,07911 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·3063 = 4,045 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·400/4,045 × 10⁸ = 0,07911 mm

Відповідь

δ = 0,07911 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 438,8 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,001) = 0,00075 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,00075·5,851 × 10⁸ = 438841 N = 438,8 kN

Відповідь

P_max = 438,8 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 14,62 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14,62 kN

Відповідь

P_cr = 14,62 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 30,71 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/5 = 150

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Відповідь

σ_cr = 30,71 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,08016

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(40/5,3) = 0,5053

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5053/√(39,48 + 0,2553) = 0,08016

Відповідь

ζ = 0,08016

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,838 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·20/(40 + 20) = 13,33 kN/m

Власна частота

ω_n = √(13333/100) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Відповідь

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design