Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 15, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 15N₂ = 72η = 98%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 120 мм при 1500 об/хв зі шківом 500 мм; центри розташовані на відстані 600 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 1000 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 2 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 2000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2 mBC = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 15° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° за годинниковою стрілкою від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 20 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 20 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg на пружині жорсткістю 4 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 12 kgk = 4 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 15 kN/m і k₂ = 40 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 29,84 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Відповідь

T₁ = 29,84 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,492 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,497 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,874 = 2,396, T₂ = 1000/2,396 = 417,3 N

Потужність

P = (1000 − 417,3)·9,425 = 5,492 kW

Відповідь

P = 5,492 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,7183 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Відповідь

φ = 0,7183°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 8,754 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 750 = 1250 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·2000/(80000·613592) = 0,05093 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·2500/(80000·613592) = 0,1019 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,05093 + 0,1019 = 0,1528 rad → |φ_C| = 8,754°

Відповідь

φ_C = 8,754°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −53,66 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −30 − 10·0,866 − 30·0,5 = −53,66 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −6,34 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −53,66 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 5 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −5·−1 + −60·0 = 5 MPa

Відповідь

τ_θ = 5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,789 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/113,1 = 176,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 176,8/70000 = 0,002526 = 2526 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,002526·1500 mm = 3,789 mm

Відповідь

δ = 3,789 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 9,794 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 20000·376991/612611 = 12308 N

Напруження

σ₂ = 12308/1257 = 9,794 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 9,794 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 954,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1050² = 954882 N = 954,9 kN

Відповідь

P_cr = 954,9 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 60,67 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 60,67 mm

Відповідь

d = 60,67 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 164,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 2,722 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(4000/12) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,906·√(1 − 0,35²) = 2,722 Hz

Відповідь

f_d = 2,722 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,465 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 40 = 55 kN/m

Власна частота

ω_n = √(55000/25) = 46,9 rad/s

f_n = 46,9/(2π) = 7,465 Hz

Відповідь

f_n = 7,465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design