У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Міст Вітстона й тензорезистори
Напруги дільників
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Виведення
Vab = Va − Vb
Баланс
R1/R2 = R3/R4
Реохордний міст
R/Rx = l/(100 − l)
Опір Тевенена
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Коефіцієнт тензочутливості
ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту
чвертьміст Vs·GF·ε/4, напівміст Vs·GF·ε/2, повний міст Vs·GF·ε
Мала зміна, одне плече
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Напруження
σ = E·ε
Метод
Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть Va і Vb з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся Vs·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.
Збір даних і дискретизація
Критерій Найквіста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Частота аліасу
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Розмір кроку
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення)
±½ LSB
Код АЦП з відсіканням
D = ⌊Vin/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r
2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних
канали × fs × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод)
baud = fclk/(16·D)
Метод
Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з fs/2; вища частота виглядає як fa = |f − k·fs| з найближчим кратним fs.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = VFSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.
Схеми з операційними підсилювачами
Інвертувальний підсилювач
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неінвертувальний підсилювач
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Сумувальний підсилювач
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Ідеальний ОП
V+ = V−, Iin = 0
Послідовні й паралельні резистори
Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R
Метод
Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Тевенен і Нортон
Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Метод
Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
2Задачі для практики
1.Міст Вітстона й тензорезисториСередня
Міст має чотири плеча по 470 Ω і Vs = 6 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 0,94 Ω. У наближенні малих змін знайдіть вихід Vab у mV.
Vs = 6 VR = 470 ΩΔR = 0,94 Ω
Vab = mV
2.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна
Міст із плечима по 350 Ω живиться від 2,5 V і має один активний тензорезистор (чвертьміст). Коефіцієнт тензочутливості — 2, деформація — 1200 µε. Знайдіть вихід мосту Vo у mV.
Vs = 2,5 VGF = 2ε = 1200 µε
Vo = mV
3.Збір даних і дискретизаціяСередня
Синусоїда 32,5 kHz дискретизується з частотою 50 kHz без антиаліасингового фільтра. На якій частоті fa вона з’являється у відліках? Подайте в kHz.
f = 32,5 kHzfs = 50 kHz
fa = kHz
4.Збір даних і дискретизаціяСкладна
Для аудіовимірювання потрібне ідеальне відношення сигнал/шум квантування щонайменше 75 дБ для синусоїди на повну шкалу. Знайдіть найменшу кількість розрядів АЦП N.
SQNR ≥ 75 dB
N =
5.Схеми з операційними підсилювачамиСередня
ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу Vout.
Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела Vs. Лівий дільник R1–R2 дає Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правий дільник R3–R4 дає Vb = Vs·R4/(R3 + R4); вихід — Vab = Va − Vb. Міст збалансований (Vab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R1/R2 = R3/R4, тобто R1·R4 = R2·R3. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Відносна зміна
ΔR/R = 0,94/470 = 0,002
Лінеаризований вихід
Vab ≈ 6·0,002/4 = 3 mV
Відповідь
Vab = 3 mV
Точне значення становить 2,997 mV; наближення добре, поки ΔR/R мале.
2.Міст Вітстона й тензорезистори
Відповідь: Vo = 1,5 mV
Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають Vs·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — Vs·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.
Відносна зміна опору
ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0,0024
Вихід мосту
Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 2,5·0,0024/4 = 1,5 mV
Відповідь
Vo = 1,5 mV
3.Збір даних і дискретизація
Відповідь: fa = 17,5 kHz
Дискретизація: АЦП вимірює сигнал fs разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < fs/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на fa = |f − k·fs|, де ціле k дає результат між 0 і fs/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище fs/2, перед АЦП.
Частота Найквіста
fs/2 = 25 kHz < f = 32,5 kHz
Найближче кратне частоти дискретизації
k = round(32,5/50) = 1
Частота аліасу
fa = |32,5 − 1·50| = 17,5 kHz
Відповідь
fa = 17,5 kHz
Штрихова крива на рисунку — це аліас: вона проходить через ті самі відліки.
4.Збір даних і дискретизація
Відповідь: N = 13
Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали VFSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = VFSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.
Розв’яжіть відносно N
N ≥ (75 − 1,76)/6,02 = 12,17
Округліть угору
N = 13
перевірка: 6,02·13 + 1,76 = 80,02 dB ≥ 75 dB
Відповідь
N = 13
5.Схеми з операційними підсилювачами
Відповідь: Vout = −0,8182 V
Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.
Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.
Вхідні струми
V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.
I1 = V1/R1 = 1,4/2 = 0,7 mA
I2 = V2/R2 = −0,2/1 = −0,2 mA
If = I1 + I2 = 0,5 mA
Вихідна напруга
Vout = −Rf·If = −10·0,5 = −5 V
Відповідь
Vout = −5 V
7.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: IR1 = 0,6545 A
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Req = R1 + 3,75 = 10 + 3,75 = 13,75 Ω
Струм джерела
Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/13,75 = 0,6545 A
Відповідь
IR1 = 0,6545 A
8.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: IR1 = 0,8021 A
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R5 + R6 = 15 + 2 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 9,189 Ω
R3 + 9,189 = 34,19 Ω
R2 ∥ 34,19 = 14,44 Ω
Req = R1 + 14,44 = 8 + 14,44 = 22,44 Ω
Струм джерела
Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/22,44 = 0,8021 A
Відповідь
IR1 = 0,8021 A
9.Тевенен і Нортон
Відповідь: Vth = 15 V
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 6 = 11 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·10/(10+10) = 15 V
10.Тевенен і Нортон
Відповідь: IL = 0,9 A
Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.
Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами
Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.
R1 ∥ R2 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 12 + 6 = 18 Ω
Знайдіть Vth — напругу холостого ходу
Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9 + 1·12 = 21 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21 + 1·6 = 27 V
Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена
Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.