Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 15 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 300 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 1 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP = 65 kN у 2 mw = 2 kN/m від 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 280 mm і внутрішній діаметр d = 248 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 280 mmd = 248 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 130 MPa і σᵧ = −30 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 155 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 155 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 90 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 109,4 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/4,57 × 10⁻⁶ = 109409 N = 109,4 kN

Відповідь

P = 109,4 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,578 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 21,22 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21,22·1000/70000 = 0,3032 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·2000/117000 = 1,275 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,578 mm

Відповідь

δ = 1,578 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,3502 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0,006112 rad

φ = 0,006112·180/π = 0,3502°

Відповідь

φ = 0,3502°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 250 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·20/190984 = 250 MPa

Відповідь

τ_max = 250 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 69,17 kN, R₂ = 20,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 69,17, M_C = 83,33 kN·m, M_D = 62,5, M_E = 41,67, M_F = 20,83, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 83,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 69 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·2 + 2·4·2

R_B = 146/4 = 36,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 36,5 = 36,5 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 32,5 kN

V(2⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 36,5·2 − 2·2²/2 = 69 kN·m

Відповідь

M_max = 69 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 93,51 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 13270 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,16 × 10⁸ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,16 × 10⁸/13270) = 93,51 mm

Відповідь

r = 93,51 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 55,56 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

стінка: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·135 + 1920·60)/6120 = 111,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·30³/12 + 4200·(135 − 111,5)² = 2,64 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·120³/12 + 1920·(60 − 111,5)² = 7,391 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,64 × 10⁶ + 7,391 × 10⁶ = 1,003 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 111,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·111,5/1,003 × 10⁷ = 55,56 MPa

Відповідь

σ_низ = 55,56 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 68,01 MPa

Потрібний радіус

C = (130 + (−30))/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 155 − 50 = 105 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 80²) = 68,01 MPa

Відповідь

τ_xy = 68,01 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 3,662

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 80 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 111,6 MPa, σ₂ = 48,38 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(111,6² − 111,6·48,38 + 48,38²) = 96,95 MPa

n = 355/96,95 = 3,662

Відповідь

n = 3,662

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 4,209 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 4,209 mm

Відповідь

δ_max = 4,209 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6,944) = 3,662 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 119,4 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1050² = 119360 N = 119,4 kN

Відповідь

P_cr = 119,4 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 54,26 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54,26 mm

Відповідь

d = 54,26 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 147,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials