Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
P = ?12600 mm200 mmØ25Ø40δ = 0,25 mm

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmСталь1,5 mØ 12 mmАлюміній2 mP = 15 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 15 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 2 mb = 0,8 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 40 mmT0 = 1000 N·ma = 2 mb = 0,8 m
TA = N·m
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 8 kN/mP = 55 kNAB1 m1,5 m

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 1 m від A. Знайдіть згинальний момент MA у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2,5 mP = 55 kN у 1 mw = 8 kN/m від 0 до 2,5 m
MA = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mABC6 m2,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.

L = 8,5 mw = 8 kN/m від 0 до 8,5 mопори в x = 0 і x = 6 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
100 mm200 mm120 mmØ40xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
100 mm150 mm97,5 mm30 × 20xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 20 mmцентр отвору: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 70σy​ = −30MPaτxy​ = ?

У точці σₓ = 70 MPa і σᵧ = −30 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τxy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 130 MPa?

σx = 70 MPaσy = −30 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
25°D = 600 mm, t = 10 mm, p = 2,5 MPap

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 600 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 25° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σn, що діє поперек зварного шва.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 25°
σn = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 17 kNABδ2,5 m5,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 17 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 3 kN/mABδ3 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 75 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 75 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 m25 × 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 4 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 32,45 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/7,703 × 10⁻⁶ = 32454 N = 32,45 kN

Відповідь

P = 32,45 kN
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,019 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 30,56 MPa
σ2 = 132,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 30,56·1500/200000 = 0,2292 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 132,6·2000/70000 = 3,789 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,019 mm

Відповідь

δ = 4,019 mm
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,401 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·613592) = 0,02445 rad
φ = 0,02445·180/π = 1,401°

Відповідь

φ = 1,401°
4.Кручення валів

Відповідь: TA = 285,7 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·0,8/2,8 = 285,7 N·m
TB = 1000·2/2,8 = 714,3 N·m

Відповідь

TA = 285,7 N·m
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: MA = −80 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −55·1 = −55 kN·m
w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m
MA = −55 − 25 = −80 kN·m

Відповідь

MA = −80 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 24,59 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8,5 = 68 kN, прикладена в x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·8,5·4,25
RB = 289/6 = 48,17 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 48,17 = 19,83 kN

Нульова поперечна сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 19,83/8 = 2,479 m

Максимальний додатний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 19,83²/(2·8) = 24,59 kN·m

Відповідь

Mmax = 24,59 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 66 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1257·120)/(20000 − 1257) = 98,66 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·1,341² = 66,7 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21,34² = 0,698 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 66 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 27,79 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 600·97,5)/(15000 − 600) = 74,06 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·0,9375² = 28,14 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·20³/12 + 600·23,44² = 0,3496 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 27,79 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 27,79 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τxy = 97,98 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (70 + (−30))/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 130 − 20 = 110 MPa
στxyCσ1​σ2​

Дотичне напруження

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 50²) = 97,98 MPa

Відповідь

τxy = 97,98 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σn = 68,3 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σh = pr/t і осьове напруження σa = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2,5·300/10 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37,5 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σa), а y по колу (σh). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σn = 37,5·sin²25° + 75·cos²25° = 68,3 MPa

Відповідь

σn = 68,3 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δP = 11,75 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·2500²·5500²/(3·1,14 × 10¹³·8000) = 11,75 mm

Відповідь

δP = 11,75 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 176,8 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·8,333) = 3,452 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,452 × 10⁷/75)1/3 = 176,8 mm

Відповідь

hreq = 176,8 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 24,67 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24,67 kN

Відповідь

Pcr = 24,67 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 27,76 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Відповідь

σcr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials