Осьове напруження й деформація
- Нормальне напруження
- σ = F/A
- Деформація
- ε = ΔL/L
- Закон Гука
- σ = E·ε
- Видовження
- ΔL = FL/(EA)
- Температурна деформація
- εT = α·ΔT
Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Кручення валів
- Дотичне напруження
- τ = T·r/J
- Суцільний вал
- J = πd⁴/32
- Порожнистий вал
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Кут закручування
- φ = TL/(GJ)
- Потужність
- P = T·ω = 2πnT/60
Метод
- Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
- Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
- Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
- Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.
Поперечна сила і згинальний момент
- Поперечна сила і момент
- V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
- Напруження згину
- σ = M·y/I
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Момент опору перерізу
- W = I/ymax
- Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
- Mmax = wL²/8
Метод
- Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
- Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
- Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
- Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.
Центр ваги й момент інерції
- Центр ваги
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Прямокутник
- I = bh³/12
- Теорема про паралельне перенесення осей
- I = Ic + A·d²
- Складений переріз
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Коло Мора й перетворення напружень
- Центр
- C = (σx + σy)/2
- Радіус
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Головні напруження
- σ1,2 = C ± R
- Головний напрямок
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Похила площадка
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Метод
- Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
- Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
- Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Прогин балки
- Зосереджена сила посередині прольоту
- δ = PL³/(48EI)
- Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Консоль, сила на кінці
- δ = PL³/(3EI)
- Консоль, рівномірне навантаження
- δ = wL⁴/(8EI)
- Метод накладання
- δ = δ1 + δ2
Стійкість колон
- Критична сила Ейлера
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Коефіцієнт розрахункової довжини
- K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
- Критичне напруження
- σcr = Pcr/A
- Гнучкість
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Задачі для практики
1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.
ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.
P = 85 kNділянка 1: Ø35 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
T = 100 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Суцільний вал (латунь) діаметром 60 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,5 m від A і 3 m від B, прикладено обертовий момент 1500 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.
d = 60 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 3 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 6,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 8 mw = 5 kN/m від 0 до 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
L = 5 mP = 10 kN у 3,5 mw = 4 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.
b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 240 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 200 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σmax у перерізі.
B = 240 mmH = 380 mmtf = 24 mmtw = 8 mmM = 200 kN·m
σmax = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
У точці σₓ = −30 MPa і σᵧ = 90 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τxy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 120 MPa?
σx = −30 MPaσy = 90 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.
σx = 130 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.
w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогин балкиСкладна
Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.
L = 6 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Стійкість колонСередня
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 100 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.
P = 100 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm
3Розчини
1.Осьове напруження й деформація
Відповідь: P = 31,42 kN
Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.
Площі
A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²
Податливості
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
Навантаження
P = 0,2/6,366 × 10⁻⁶ = 31416 N = 31,42 kN
Відповідь
P = 31,42 kN
2.Осьове напруження й деформація
Відповідь: σmax = 751,6 MPa
Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.
Однакова сила в обох ділянках
Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 88,35 MPa
σ2 = 751,6 MPa
Найбільше напруження
Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.
σmax = 751,6 MPa
Відповідь
σmax = 751,6 MPa
3.Кручення валів
Відповідь: φ = 0,7124 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Полярний момент інерції
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Кут закручування
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·251327) = 0,01243 rad
φ = 0,01243·180/π = 0,7124°
Відповідь
φ = 0,7124°
4.Кручення валів
Відповідь: τmax = 23,58 MPa
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).
Рівновага і сумісність деформацій
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·3/4,5 = 1000 N·m
TB = 1500·1,5/4,5 = 500 N·m
Найбільше дотичне напруження
Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa
Відповідь
τmax = 23,58 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 24,38 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Розріжте в x = 6,5 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 20·6,5 − 5·6,5·3,25 = 24,38 kN·m
Відповідь
Mx = 24,38 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент
Відповідь: Mx = 11 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Опорні реакції
Рівновага всієї балки.
Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3,5 + 4·5·2,5
RB = 85/5 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 17 = 13 kN
Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 13·1 − 4·1·0,5 = 11 kN·m
Відповідь
Mx = 11 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.
Центр ваги
ȳ = (45000·150 − 706,9·105)/(45000 − 706,9) = 150,7 mm
Суцільна пластина відносно ȳ
150·300³/12 + 45000·−0,7181² = 337,5 × 10⁶ mm⁴
Отвір відносно ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−45,72² = 1,517 × 10⁶ mm⁴
Відніміть
Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
Відповідь
Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції
Відповідь: σmax = 97,45 MPa
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи
Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.
hw = 380 − 2·24 = 332 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (240·380³ − 232·332³)/12
Ix = 3,899 × 10⁸ mm⁴
Напруження згину
y = 190 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·190/3,899 × 10⁸ = 97,45 MPa
Відповідь
σmax = 97,45 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: τxy = 67,08 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Потрібний радіус
C = (−30 + 90)/2 = 30 MPa
R = σ1 − C = 120 − 30 = 90 MPa
Дотичне напруження
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 60²) = 67,08 MPa
Відповідь
τxy = 67,08 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень
Відповідь: σθ = 28,48 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Формула перетворення
σθ = 45 + 85·−0,5 + 30·0,866 = 28,48 MPa
Відповідь
σθ = 28,48 MPa
11.Прогин балки
Відповідь: δ = 70,43 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Узгоджені одиниці
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²
Прогин
δ = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 70,43 mm
Відповідь
δ = 70,43 mm
12.Прогин балки
Відповідь: RB = 18 kN
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).
Відкиньте додаткову опору
Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.
δload = wL⁴/(8EI)
Умова сумісності деформацій на додатковій опорі
Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN
Відповідь
RB = 18 kN
13.Стійкість колон
Відповідь: Pcr = 94,2 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Найменший момент інерції
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Розрахункова довжина
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Критична сила
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN
Відповідь
Pcr = 94,2 kN
14.Стійкість колон
Відповідь: d = 90,25 mm
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Потрібна критична сила
Pcr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Виразіть діаметр
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,25 mm
Відповідь
d = 90,25 mm
Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 133, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials