Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 12 mmЛатунь2 mP = 90 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (латунь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø2570 GPaØ120/50300 mm

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 100 N·md = 20 mmL = 1,5 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
Td = ?

Суцільний вал має передавати 10 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNAB2 m1 m7 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP1 = 60 kN у 2 mP2 = 50 kN у 3 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
20 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 6 m30 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
1002020016xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
150 mm240 mm72 mm50 × 20xIx​ = ?

Пластина 150 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 72 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 20 mmцентр отвору: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 70σy​ = 10τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 70 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​поверхня вала

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає осьову стискальну силу 200 kN разом з обертовим моментом 2000 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ1.

d = 60 mmF = −200 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 22 kNABδ0,5 m2,5 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Прогин балкиСкладна
P = 30 kNABδ4 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 30 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 1 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 7958 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/100000 = 0,007958 = 7958 µε

Відповідь

ε = 7958 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 601,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,001429) = 0,0008 (сталь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0008·7,524 × 10⁸ = 601929 N = 601,9 kN

Відповідь

Pmax = 601,9 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,03 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·15708) = 0,2449 rad
φ = 0,2449·180/π = 14,03°

Відповідь

φ = 14,03°
4.Кручення валів

Відповідь: d = 23,49 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

Відповідь

d = 23,49 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 189 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 50·3
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 27 = 83 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2 = 83·2 = 166 kN·m
під P2: M = RB·7 = 27·7 = 189 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 189 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 189 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 14 kN, R2 = 36 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 14, MC = 28 kN·m, MD = 12, ME = −4, MF = −20, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 28 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 25,63 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
стінка: Aw = 16·200 = 3200 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·210 + 3200·100)/5200 = 142,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·20³/12 + 2000·(210 − 142,3)² = 9,231 × 10⁶ mm⁴
стінка: 16·200³/12 + 3200·(100 − 142,3)² = 1,639 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,231 × 10⁶ + 1,639 × 10⁷ = 2,563 × 10⁷ mm⁴ = 25,63 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 25,63 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1000·72)/(36000 − 1000) = 121,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,371² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·20³/12 + 1000·−49,37² = 2,471 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 170,4 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = −9,217 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, 70 − 10) = −18,43°

Кут на елементі

θp = −9,217°

Відповідь

θp = −9,217°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ1 = 23,58 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = F/A = −200000/(π·60²/4) = −200000/2827 = −70,74 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa
στxyCσ1​σ2​

Коло Мора

C = σ/2 = −35,37 MPa
R = √((−35,37)² + 47,16²) = 58,95 MPa
σ1 = C + R = 23,58 MPa
σ2 = C − R = −94,31 MPa

Відповідь

σ1 = 23,58 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δB = 3,247 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 0,3819 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001146 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,247 mm

Відповідь

δB = 3,247 mm
12.Прогин балки

Відповідь: δmax = 26,62 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 26,62 mm

Відповідь

δmax = 26,62 mm
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 86,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86,82 kN

Відповідь

Pcr = 86,82 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 26,99 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Відповідь

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials