Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 120 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (латунь; зовнішній діаметр 80 mm, внутрішній діаметр 48 mm, довжина 0,8 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 3000 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A. Знайдіть згинальний момент M_A у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2,5 mP = 15 kN у 0,5 mw = 8 kN/m від 0 до 2,5 m

M_A = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 180 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 220 mmh = 180 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 210 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 150 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 210 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1200 mm і товщиною стінки 8 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 40° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3,5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 28 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 4 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 12000 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 840/70000 = 0,012 = 12000 µε

Відповідь

ε = 12000 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 15,38 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·1000/70000 = 1,782 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1061·1500/117000 = 13,6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 15,38 mm

Відповідь

δ = 15,38 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,3358 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(39000·3,5 × 10⁶) = 0,005861 rad

φ = 0,005861·180/π = 0,3358°

Відповідь

φ = 0,3358°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 8,006 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·30/1,193 × 10⁶ = 8,006 MPa

Відповідь

τ_max = 8,006 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_A = −32,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m

M_A = −7,5 − 25 = −32,5 kN·m

Відповідь

M_A = −32,5 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 10 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 22,75 kN, R₂ = 90,25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −6,5, M_D = −17, M_E = −51,5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −110 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 28,9 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 220·16 = 3520 mm², y₁ = 8 mm

дві полиці: A₂ = 2·16·164 = 5248 mm², y₂ = 16 + 164/2 = 98 mm

Центр ваги

ȳ = (3520·8 + 5248·98)/8768 = 61,87 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 220·16³/12 + 3520·(8 − 61,87)² = 1,029 × 10⁷ mm⁴

дві полиці: 2·16·164³/12 + 5248·(98 − 61,87)² = 1,861 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,029 × 10⁷ + 1,861 × 10⁷

I_x = 2,89 × 10⁷ mm⁴ = 28,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 28,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 206,4 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·280³ − 202·256³)/12

I_x = 1,017 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 140 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·140/1,017 × 10⁸ = 206,4 MPa

Відповідь

σ_max = 206,4 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 60 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 70 MPa, R = √((−40)² + 30²) = 50 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 20 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 120, 20)/2 = 60 MPa

Відповідь

τ_abs = 60 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 71,41 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σ_h = pr/t і осьове напруження σ_a = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,2·600/8 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 45·sin²40° + 90·cos²40° = 71,41 MPa

Відповідь

σ_n = 71,41 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 31,96 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 28000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·3500²·1500²/(3·1,61 × 10¹²·5000) = 31,96 mm

Відповідь

δ_P = 31,96 mm

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 12 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 48 − 36 = 12 kN·m

Відповідь

M_A = 12 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,225 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Відповідь

P_cr = 8,225 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 43,68 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 43,68 mm

Відповідь

d = 43,68 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 128,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials