Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 100 kNd = 25 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 60 mm, внутрішній діаметр 45 mm, довжина 3 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1000 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 30 kW при 500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 4 m від A. Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 55 kN у 4 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 60 kN у 2 mw = 10 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 300 mmвиріз: 50 × 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 4 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 22 kNa = 4 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,482 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/117000 = 0,001741 = 1741 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001741·2000 mm = 3,482 mm

Відповідь

δ = 3,482 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 482,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008·6,032 × 10⁸ = 482549 N = 482,5 kN

Відповідь

P_max = 482,5 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,47 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Кут закручування

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(80000·869767) = 0,04311 rad

φ = 0,04311·180/π = 2,47°

Відповідь

φ = 2,47°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 26,82 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·25/534071 = 26,82 MPa

Відповідь

τ_max = 26,82 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = −146,9 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −55·2,5 = −137,5 kN·m

w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m

M_x = −137,5 − 9,375 = −146,9 kN·m

Відповідь

M_x = −146,9 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 63,75 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2 + 10·4·2

R_B = 200/4 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 50·1,5 − 10·1,5·0,75 = 63,75 kN·m

Відповідь

M_x = 63,75 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 45,12 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стінка: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·245 + 4800·120)/6800 = 156,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(245 − 156,8)² = 1,559 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·240³/12 + 4800·(120 − 156,8)² = 2,953 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,559 × 10⁷ + 2,953 × 10⁷ = 4,512 × 10⁷ mm⁴ = 45,12 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 45,12 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 264 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·150 − 2500·105)/(36000 − 2500) = 153,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·300³/12 + 36000·−3,358² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·50³/12 + 2500·−48,36² = 6,367 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 264 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 264 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −68,86 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 10 − 120) = −137,7°

Кут на елементі

θ_p = −68,86°

Відповідь

θ_p = −68,86°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 8,397 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−5·0,9848 + −20·−0,1736 = 8,397 MPa

Відповідь

τ_θ = 8,397 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 59,26 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·4000²·1000²/(3·3,96 × 10¹¹·5000) = 59,26 mm

Відповідь

δ_P = 59,26 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 16,02 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·5000³/(48·2,52 × 10¹²) = 3,1 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 12,92 mm

Додайте

δ_max = 3,1 + 12,92 = 16,02 mm

Відповідь

δ_max = 16,02 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,473 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Відповідь

P_cr = 3,473 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 102 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 102 mm

Відповідь

d = 102 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 137,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials