Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 300 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 75 kW при 300 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 10,5 mw = 5 kN/m від 0 до 10,5 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 220 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 380 mm і стінку товщиною 14 mm. Він сприймає згинальний момент 200 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 220 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 200 kN·m

σ_max = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 12 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 10 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,06746 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·3063 = 3,558 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·300/3,558 × 10⁸ = 0,06746 mm

Відповідь

δ = 0,06746 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 731,1 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8,042 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0009091·8,042 × 10⁸ = 731134 N = 731,1 kN

Відповідь

P_max = 731,1 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 9,194 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·38350) = 0,1605 rad

φ = 0,1605·180/π = 9,194°

Відповідь

φ = 9,194°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 277,9 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·20/171806 = 277,9 MPa

Відповідь

τ_max = 277,9 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 30 kN, R₂ = 30 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 50, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 50, M_F = 27,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 67,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 32,57 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, прикладена в x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10,5·5,25

R_B = 275,6/8 = 34,45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,05/5 = 3,609 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18,05²/(2·5) = 32,57 kN·m

Відповідь

M_max = 32,57 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 50,4 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

стінка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·270 + 2600·130)/8600 = 227,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·20³/12 + 6000·(270 − 227,7)² = 1,095 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 227,7)² = 3,945 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,095 × 10⁷ + 3,945 × 10⁷ = 5,04 × 10⁷ mm⁴ = 50,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 50,4 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 100,6 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·380³ − 206·332³)/12

I_x = 3,778 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 190 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·190/3,778 × 10⁸ = 100,6 MPa

Відповідь

σ_max = 100,6 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −15,8 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 140 − 10) = −31,61°

Кут на елементі

θ_p = −15,8°

Відповідь

θ_p = −15,8°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 40,18 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 75 + 35·−0,5 + −20·0,866 = 40,18 MPa

Відповідь

σ_θ = 40,18 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 1,587 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 12000·1000³/(3·2,52 × 10¹²) = 1,587 mm

Відповідь

δ_P = 1,587 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,979 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·4000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,4167 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 1,563 mm

Додайте

δ_max = 0,4167 + 1,563 = 1,979 mm

Відповідь

δ_max = 1,979 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,879 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4000² = 2879 N = 2,879 kN

Відповідь

P_cr = 2,879 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 66,72 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,72 mm

Відповідь

d = 66,72 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 239,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials