Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,2 m від A і 2 m від B, прикладено обертовий момент 2000 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,2 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mw = 16 kN/m від 0 до 3 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 40 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 90 MPa і σᵧ = −50 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 125 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 500 mm і товщиною стінки 12 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 50° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 500 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 18 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 70 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1313 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·800/3,047 × 10⁸ = 0,1313 mm

Відповідь

δ = 0,1313 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 73,55 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·388772/598212 = 51991 N

Напруження

σ₂ = 51991/706,9 = 73,55 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 73,55 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,771 °

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·79522) = 0,04837 rad

φ = 0,04837·180/π = 2,771°

Відповідь

φ = 2,771°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 50,93 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·2/3,2 = 1250 N·m

T_B = 2000·1,2/3,2 = 750 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·50³) = 50,93 MPa

Відповідь

τ_max = 50,93 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 22,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 24·2,5 − 12·2,5·1,25 = 22,5 kN·m

Відповідь

M_x = 22,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 47,53 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·3·1,5

R_B = 72/8 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 9 = 39 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 39/16 = 2,438 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 39·2,438 − 16·2,438²/2 = 47,53 kN·m

Відповідь

M_max = 47,53 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1257·90)/(30000 − 1257) = 152,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,623² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−62,62² = 5,054 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 1200·90)/(18000 − 1200) = 73,93 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·1,071² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·40³/12 + 1200·16,07² = 0,4699 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 33,3 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 78,26 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (90 + (−50))/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 20 = 105 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 70²) = 78,26 MPa

Відповідь

τ_xy = 78,26 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 22,08 MPa

Напруження в стінці

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,5·250/12 = 31,25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15,63 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 15,63·sin²50° + 31,25·cos²50° = 22,08 MPa

Відповідь

σ_n = 22,08 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 48,44 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 18000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 32,3 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0323 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 48,44 mm

Відповідь

δ_B = 48,44 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8,333) = 6,328 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 6,328 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 12,34 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/10000² = 12337 N = 12,34 kN

Відповідь

P_cr = 12,34 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 84,92 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,92 mm

Відповідь

d = 84,92 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 282,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials