Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 300 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 40 kNділянка 1: Ø35 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 30 kW при 1450 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 4 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 25 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 20 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 110 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 25 mm сприймає згинальний момент 300 N·m разом з обертовим моментом 1000 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 25 mmM = 300 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 29 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 135 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,01266 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 50000·300/1,184 × 10⁹ = 0,01266 mm

Відповідь

δ = 0,01266 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,443 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·1500/100000 = 0,6236 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·1000/70000 = 1,819 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,443 mm

Відповідь

δ = 2,443 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 4,274 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Відповідь

φ = 4,274°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 45,89 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·60)) = 25,6 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 45,89 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(25,6, 45,89) = 45,89 mm

Відповідь

d = 45,89 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 35,67 kN, R₂ = 47,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 55,33, M_D = 71, M_E = 78,67 kN·m, M_F = 43,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 78,67 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 55,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3 + 4·6·3

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 24,5 = 24,5 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 24,5·3 − 4·3·1,5 = 55,5 kN·m

Відповідь

M_x = 55,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,121 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стінка: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 1680·70)/3880 = 112,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·10³/12 + 2200·(145 − 112,5)² = 2,338 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·140³/12 + 1680·(70 − 112,5)² = 5,782 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,338 × 10⁶ + 5,782 × 10⁶ = 8,121 × 10⁶ mm⁴ = 8,121 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,121 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 98,66 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 800·140)/(30000 − 800) = 98,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·1,096² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·20³/12 + 800·41,1² = 1,378 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 98,66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 98,66 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −23,08 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 15 − 95·0,6428 − (−30)·0,766 = −23,08 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 53,08 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −23,08 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 438,1 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325,9 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 97,78 MPa

R = √(97,78² + 325,9²) = 340,3 MPa

σ₁ = C + R = 438,1 MPa

σ₂ = C − R = −242,5 MPa

Відповідь

σ₁ = 438,1 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 27,83 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 27,83 mm

Відповідь

δ = 27,83 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 47,34 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 29000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 47,34 mm

Відповідь

δ_max = 47,34 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,18 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Відповідь

P_cr = 2,18 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 75,12 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,12 mm

Відповідь

d = 75,12 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 106,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials