Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 55 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 1,2 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 3°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 60 mm закріплений в A. У B, на відстані 2 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 250 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 2 m40 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 50 kN у 1 mw = 5 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 144 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 5 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 60° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає осьову стискальну силу 100 kN разом з обертовим моментом 500 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 60 mmF = −100 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 3 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 4 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 115 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1463 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 250000·500/8,545 × 10⁸ = 0,1463 mm

Відповідь

δ = 0,1463 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 486,3 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 486,3 MPa

Відповідь

σ_max = 486,3 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 33,08 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(39000·0,05236) = 117530 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 33,08 mm

Відповідь

d = 33,08 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 53,05 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 2000 = 2250 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 2250 N·m

τ_max = 16·2,25 × 10⁶/(π·60³) = 53,05 MPa

Відповідь

τ_max = 53,05 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 73,33 kN·m, M_D = 55, M_E = 36,67, M_F = 18,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 73,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 54,44 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 5·6·3

R_B = 140/6 = 23,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 23,33 = 56,67 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (56,67 − 50)/5 = 1,333 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 54,44 kN·m

Відповідь

M_max = 54,44 kN·m

Це в точці x = 1,333 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 1963·144)/(24000 − 1963) = 117,9 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·2,138² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·26,14² = 1,648 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 9,461 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стінка: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·210 + 2000·100)/6400 = 175,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·20³/12 + 4400·(210 − 175,6)² = 5,346 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·200³/12 + 2000·(100 − 175,6)² = 1,81 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,346 × 10⁶ + 1,81 × 10⁷ = 2,345 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 220 − 175,6 = 44,38 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·44,38/2,345 × 10⁷ = 9,461 MPa

Відповідь

σ_верх = 9,461 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −57,32 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −40 − 0·(−0,5) − 20·0,866 = −57,32 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −22,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −80 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −57,32 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 21,25 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −100000/(π·60²/4) = −100000/2827 = −35,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −17,68 MPa

R = √((−17,68)² + 11,79²) = 21,25 MPa

Відповідь

τ_max = 21,25 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 4,416 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 3000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,397 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002038 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,416 mm

Відповідь

δ_B = 4,416 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 6 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·4/8 = 6 kN

Відповідь

R_B = 6 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 225 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Відповідь

P_cr = 225 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 65,68 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 65,68 mm

Відповідь

d = 65,68 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 170,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials