Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 120 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 0,5 m передає обертовий момент 2000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 0,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 2000 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,2 m від A, діє обертовий момент 250 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,2 m далі, діє момент 1500 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1,2 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 10 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM₀ = 10 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mw = 8 kN/m від 1 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 60° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 15 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 174,1 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/117000 = 0,0001741 = 174,1 µε

Відповідь

ε = 174,1 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 1061 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 1061 MPa

Відповідь

σ_max = 1061 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 81,85 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·500/(26000·0,008727) = 4,407 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 81,85 mm

Відповідь

d = 81,85 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 71,3 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 250 = 1750 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1750 N·m

τ_max = 16·1,75 × 10⁶/(π·50³) = 71,3 MPa

Відповідь

τ_max = 71,3 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 6,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/8 = 1,25 kN (вгору)

R_A = −R_B = −1,25 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −1,25·3 + 10 = 6,25 kN·m

Відповідь

M_x = 6,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 23,04 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·4·3

R_B = 96/5 = 19,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 19,2 = 12,8 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 12,8/8 = 2,6 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 12,8·2,6 − 8·1,6²/2 = 23,04 kN·m

Відповідь

M_max = 23,04 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 12,43 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

стінка: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·132,5 + 2400·60)/8900 = 112,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·25³/12 + 6500·(132,5 − 112,9)² = 2,823 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·120³/12 + 2400·(60 − 112,9)² = 9,609 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,823 × 10⁶ + 9,609 × 10⁶ = 1,243 × 10⁷ mm⁴ = 12,43 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 12,43 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 275,3 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·155 + 2800·70)/8200 = 126 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·30³/12 + 5400·(155 − 126)² = 4,954 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 126)² = 1,335 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,954 × 10⁶ + 1,335 × 10⁷ = 1,83 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 126 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·126/1,83 × 10⁷ = 275,3 MPa

Відповідь

σ_низ = 275,3 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 34,46 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −25 − 15·(−0,5) − (−60)·0,866 = 34,46 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −84,46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −50 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 34,46 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −75 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −55 + −5·0 + −20·1 = −75 MPa

Відповідь

σ_θ = −75 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 55,4 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·1500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 42,61 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 12,78 mm

Додайте

δ = 42,61 + 12,78 = 55,4 mm

Відповідь

δ = 55,4 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 29,3 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·200000·13,89) = 2,93 × 10⁷ mm⁴

I_req = 29,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 29,3 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 200,9 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Відповідь

P_cr = 200,9 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 46,99 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 46,99 mm

Відповідь

d = 46,99 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 127,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials