Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 90 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 50 kW при 750 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP = 25 kN у 4 mw = 3 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 120 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 3 mP = 20 kN у 1,5 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,3183 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0006366·500 mm = 0,3183 mm

Відповідь

δ = 0,3183 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 26,53 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 100000·706858/942478 = 75000 N

Напруження

σ₂ = 75000/2827 = 26,53 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 26,53 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,197 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·613592) = 0,02089 rad

φ = 0,02089·180/π = 1,197°

Відповідь

φ = 1,197°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 8,83 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,704 × 10⁶ = 8,83 MPa

Відповідь

τ_max = 8,83 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 20 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 25·1 − 10·1·0,5 = 20 kN·m

Відповідь

M_x = 20 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 26 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 3·5·2,5

R_B = 137,5/5 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 27,5 = 12,5 kN

Де V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 0,5 kN

V(4⁺) = 0,5 − 25 = −24,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 12,5·4 − 3·4²/2 = 26 kN·m

Відповідь

M_max = 26 kN·m

Це в точці x = 4 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·150 − 1963·90)/(36000 − 1963) = 153,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·300³/12 + 36000·−3,461² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−63,46² = 8,214 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 262,2 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 7,72 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (5200·270 + 3120·130)/8320 = 217,5 mm

верхній край: c = 280 − 217,5 = 62,5 mm

Момент інерції перерізу

I = 260·20³/12 + 5200·52,5² + 12·260³/12 + 3120·87,5² = 5,597 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 120·5,597 × 10⁷/62,5 = 107,5 kN·m

нижній край: M = 30·5,597 × 10⁷/217,5 = 7,72 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 7,72 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 7,72 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 30,69 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/62,65 = 0,4789, sin 2θ_s = −(−55)/62,65 = 0,8779

2θ_s = atan2(55, 30) = 61,39°

Кут на елементі

θ_s = 30,69°

перевірка: θ_s − θ_p = 30,69 − 75,69 = −45°

Відповідь

θ_s = 30,69°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 46,16 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−75·0,5 + 10·0,866 = 46,16 MPa

Відповідь

τ_θ = 46,16 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 50,86 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 50,86 mm

Відповідь

δ_max = 50,86 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 6,25 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Відповідь

R_B = 6,25 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 49,74 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1250² = 49743 N = 49,74 kN

Відповідь

P_cr = 49,74 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,86 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Відповідь

d = 64,86 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 123,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials