Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 40 мм, довжина 300 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 20 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 8 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mw = 6 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_B = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 130 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmвиріз: 30 × 50 mmцентр отвору: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 3 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 51,88 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/4,819 × 10⁻⁶ = 51880 N = 51,88 kN

Відповідь

P = 51,88 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 99,47 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 99,47 MPa

Відповідь

σ_max = 99,47 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,4669 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·613592) = 0,008149 rad

φ = 0,008149·180/π = 0,4669°

Відповідь

φ = 0,4669°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 41,78 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·572958/(π·40)) = 41,78 mm

Відповідь

d = 41,78 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 45,83 kN, R₂ = 39,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 91,67, M_C = 113,3, M_D = 135, M_E = 156,7 kN·m, M_F = 78,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 156,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −12 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7·3,5

R_B = 147/5 = 29,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 29,4 = 12,6 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

M_B = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m

Відповідь

M_B = −12 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стінка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·165 + 2880·80)/4880 = 114,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(165 − 114,8)² = 5,05 × 10⁶ mm⁴

стінка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 114,8)² = 9,639 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5,05 × 10⁶ + 9,639 × 10⁶ = 1,469 × 10⁷ mm⁴ = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 1500·130)/(30000 − 1500) = 98,42 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·1,579² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·50³/12 + 1500·31,58² = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 45 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −80 − −80) = 90°

Кут на елементі

θ_p = 45°

Відповідь

θ_p = 45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −31,39 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −25·0,6428 + −20·0,766 = −31,39 MPa

Відповідь

τ_θ = −31,39 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 17,78 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 17,78 mm

Відповідь

δ_max = 17,78 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 4,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Відповідь

R_B = 4,5 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 263,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2500² = 263189 N = 263,2 kN

Відповідь

P_cr = 263,2 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 87,73 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Відповідь

σ_cr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials