Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 85 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 250 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 10 kW при 300 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 8 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mw = 12 kN/m від 0 до 2 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 50 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 8 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 55° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 8 mmp = 1,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 9 kNL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 95 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 95 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 18,39 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/1,359 × 10⁻⁵ = 18394 N = 18,39 kN

Відповідь

P = 18,39 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 9,283 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·2000/100000 = 1,767 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·1000/100000 = 7,516 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,283 mm

Відповідь

δ = 9,283 mm

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 28,29 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,9375)) = 28,29 mm

d_i = 0,5·28,29 = 14,14 mm

Відповідь

d_o = 28,29 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 27,69 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 33,33 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/190984 = 33,33 MPa

Відповідь

τ_max = 33,33 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 64 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 32·4 − 8·4·2 = 64 kN·m

Відповідь

M_x = 64 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 18,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, прикладена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·2·1

R_B = 24/8 = 3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 3 = 21 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21/12 = 1,75 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21·1,75 − 12·1,75²/2 = 18,38 kN·m

Відповідь

M_max = 18,38 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 1257·52,5)/(18000 − 1257) = 76,69 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,689² = 33,8 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−24,19² = 0,8609 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 2000·60)/(20000 − 2000) = 104,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,444² = 67,06 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·50³/12 + 2000·−44,44² = 4,367 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −13,28 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 140 − 20) = −26,57°

Кут на елементі

θ_p = −13,28°

Відповідь

θ_p = −13,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 62,3 MPa

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,5·500/8 = 93,75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 46,88 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 46,88·sin²55° + 93,75·cos²55° = 62,3 MPa

Відповідь

σ_n = 62,3 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 37,88 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 37,88 mm

Відповідь

δ_max = 37,88 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 22,69 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 11,34 mm

Додайте обидві сили

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 22,69 mm

Відповідь

δ_max = 22,69 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 269,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Відповідь

P_cr = 269,2 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 58,57 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,57 mm

Відповідь

d = 58,57 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 136,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials