Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 65 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 1 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1,5°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,5 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1 m далі, діє момент 1000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 5 mP₁ = 80 kN у 1 mP₂ = 35 kN у 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 40 kN у 2 mw = 2 kN/m від 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 200 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 460 mm і стінку товщиною 6 mm. Він сприймає згинальний момент 120 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 200 mmH = 460 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 30° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,892 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/490,9 = 132,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132,4/70000 = 0,001892 = 1892 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001892·1000 mm = 1,892 mm

Відповідь

δ = 1,892 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 17,04 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·376991/704240 = 21413 N

Напруження

σ₂ = 21413/1257 = 17,04 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 17,04 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d = 41,59 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(26000·0,02618) = 293825 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Відповідь

d = 41,59 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 6,576 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 750 = 250 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,102 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,01275 + 0,102 = 0,1148 rad → |φ_C| = 6,576°

Відповідь

φ_C = 6,576°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 71 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·1 + 35·4

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 44 = 71 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1 = 71·1 = 71 kN·m

під P₂: M = R_B·1 = 44·1 = 44 kN·m

Найбільше значення

M_max = 71 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 71 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 61,33 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 2·6·3

R_B = 116/6 = 19,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 19,33 = 32,67 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 32,67·2 − 2·2·1 = 61,33 kN·m

Відповідь

M_x = 61,33 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 21,8 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стінка: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·187,5 + 2880·90)/5880 = 139,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·15³/12 + 3000·(187,5 − 139,7)² = 6,898 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·180³/12 + 2880·(90 − 139,7)² = 1,49 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,898 × 10⁶ + 1,49 × 10⁷ = 2,18 × 10⁷ mm⁴ = 21,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 21,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 65,24 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 460 − 2·18 = 424 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·460³ − 194·424³)/12

I_x = 3,9 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 230 − 18 = 212 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·212/3,9 × 10⁸ = 65,24 MPa

Відповідь

σ_j = 65,24 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 41,51 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = −65 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = −46,97 MPa, σ₂ = −83,03 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 46,97, 83,03)/2 = 41,51 MPa

Відповідь

τ_abs = 41,51 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 87,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σ_h = pr/t і осьове напруження σ_a = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/10 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 50·sin²30° + 100·cos²30° = 87,5 MPa

Відповідь

σ_n = 87,5 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 39,75 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 39,75 mm

Відповідь

δ = 39,75 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 175,4 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/150)^1/3 = 175,4 mm

Відповідь

h_req = 175,4 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,922 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4,922 kN

Відповідь

P_cr = 4,922 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 63,94 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,94 mm

Відповідь

d = 63,94 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 187,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials