Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 12 mm закручують моментом 75 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 10,55° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 75 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 10,55°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 30 kN у 1 mw = 10 kN/m від 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 80 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 20 mmцентр отвору: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 50° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 23 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2176 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/117000 = 0,002176 = 2176 µε

Відповідь

ε = 2176 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 417,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0004545) = 0,0004545 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004545·9,189 × 10⁸ = 417689 N = 417,7 kN

Відповідь

P_max = 417,7 kN

3.Кручення валів

Відповідь: G = 80,03 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 10,55·π/180 = 0,1841 rad

Модуль зсуву

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(2036·0,1841) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Відповідь

G = 80,03 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 36,5 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Відповідь

d = 36,5 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 7,875 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 7,5·1,5 − 3·1,5·0,75 = 7,875 kN·m

Відповідь

M_x = 7,875 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 12,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 10·4·2

R_B = 110/4 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 27,5 = 42,5 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 42,5·3,5 − 30·(3,5 − 1) − 10·3,5·1,75 = 12,5 kN·m

Відповідь

M_x = 12,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 119,8 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

стінка: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·315 + 4800·150)/13200 = 255 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(315 − 255)² = 3,087 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·300³/12 + 4800·(150 − 255)² = 8,892 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,087 × 10⁷ + 8,892 × 10⁷ = 1,198 × 10⁸ mm⁴ = 119,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 119,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 99,64 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 800·80)/(30000 − 800) = 100,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,5479² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·20³/12 + 800·−20,55² = 0,3644 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 99,64 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 99,64 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −60,47 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −15 − (−35)·(−0,1736) − 40·0,9848 = −60,47 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 30,47 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −60,47 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 27,37 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 15 + 55·0,6428 + −30·0,766 = 27,37 MPa

Відповідь

σ_θ = 27,37 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 6,013 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·2000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·3000) = 6,013 mm

Відповідь

δ_P = 6,013 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6,944) = 1,332 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,159 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2,159 kN

Відповідь

P_cr = 2,159 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 39,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 39,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials