Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 20 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 110 kNділянка 1: Ø40 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 2,5 m від A, діє обертовий момент 500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,2 m далі, діє момент 250 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 55 kN у 4 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 160 mm, зовнішню висоту H = 325 mm і сталу товщину стінки t = 14 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 160 mmH = 325 mmt = 14 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 130 mm і товщиною 20 mm, повну висоту 200 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 50 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 60° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 4 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,164 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/70000 = 0,0005821 = 582,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0005821·2000 mm = 1,164 mm

Відповідь

δ = 1,164 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 8,327 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1500/100000 = 1,313 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·1500/117000 = 7,014 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,327 mm

Відповідь

δ = 8,327 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,86 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Відповідь

φ = 13,86°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 7,811 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·2500/(26000·613592) = 0,1175 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·613592) = 0,0188 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,1175 + 0,0188 = 0,1363 rad → |φ_C| = 7,811°

Відповідь

φ_C = 7,811°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 46 kN, R₂ = 46 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 68, M_D = 84 kN·m, M_E = 68, M_F = 40, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 84 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 50 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 3·5·2,5

R_B = 257,5/5 = 51,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51,5 = 18,5 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 18,5·4 − 3·4·2 = 50 kN·m

Відповідь

M_x = 50 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 115,1 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 132 mm, h = 297 mm

A = BH − bh = 160·325 − 132·297 = 12796 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,695 × 10⁸ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,695 × 10⁸/12796) = 115,1 mm

Відповідь

r = 115,1 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 109,4 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 200 − 2·20 = 160 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 120·160³)/12

I_x = 4,571 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 100 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·100/4,571 × 10⁷ = 109,4 MPa

Відповідь

σ_max = 109,4 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 70,98 MPa

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 70 − (−50)·(−0,5) − (−30)·0,866 = 70,98 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 69,02 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 70,98 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 105,8 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 85 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 121,4 MPa, σ₂ = 48,6 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(121,4² − 121,4·48,6 + 48,6²) = 105,8 MPa

Відповідь

σ_vM = 105,8 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 3,633 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,633 mm

Відповідь

δ_max = 3,633 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,768 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2000³/(48·1,32 × 10¹²) = 0,5051 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,263 mm

Додайте

δ_max = 0,5051 + 1,263 = 1,768 mm

Відповідь

δ_max = 1,768 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 52,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Відповідь

P_cr = 52,99 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 197,4 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σ_cr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials