Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
250 kNØ30110 GPaØ80/50400 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmАлюміній0,5 mØ 16 mmМідь1,5 mP = 95 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 95 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 250 N·md = 20 mmL = 1,2 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmT0​ = 250 N·mACBa = 0,5 mb = 3 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 3 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть реактивний момент TA у стіні A.

d = 40 mmT0 = 250 N·ma = 0,5 mb = 3 m
TA = N·m
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 6 kN/mABпереріз1 m5 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mx = 1 m
Vx = kN
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 30 kNABпереріз1 m5,5 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 6,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 30 kN у 1 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
220110t = 18ȳ = ?розміри в mm

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 220 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 110 mm. Основа й полиці мають товщину 18 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 220 mmh = 110 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
150 mm240 mm168 mm80 × 20xIx​ = ?

Пластина 150 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 80 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 240 mmвиріз: 80 × 20 mmцентр отвору: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 100σy​ = 70τxy​ = 30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 130σy​ = 40τxy​ = −40MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σvM.

σx = 130 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 21 kNABδ2,5 m1,5 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2,5 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 21 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mAB8 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту MA у защемленні.

L = 8 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.Стійкість колонСередня
PL = 4 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,2091 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 250000·400/4,783 × 10⁸ = 0,2091 mm

Відповідь

δ = 0,2091 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 472,5 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 134,4 MPa
σ2 = 472,5 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 472,5 MPa

Відповідь

σmax = 472,5 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,68 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·15708) = 0,2387 rad
φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Відповідь

φ = 13,68°
4.Кручення валів

Відповідь: TA = 214,3 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·3/3,5 = 214,3 N·m
TB = 250·0,5/3,5 = 35,71 N·m

Відповідь

TA = 214,3 N·m
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = 12 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18переріз1 m5 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 18 − 6·1 = 12 kN

Відповідь

Vx = 12 kN
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 20,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 3·8·4
RB = 126/8 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 15,75 = 38,25 kN
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = 38,25RB​ = 15,75переріз1 m5,5 m1,5 m

Розріжте в x = 6,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 38,25·6,5 − 30·(6,5 − 1) − 3·6,5·3,25 = 20,25 kN·m

Відповідь

Mx = 20,25 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 34,05 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A1 = 220·18 = 3960 mm², y1 = 9 mm
дві полиці: A2 = 2·18·92 = 3312 mm², y2 = 18 + 92/2 = 64 mm

Центр ваги

ȳ = (3960·9 + 3312·64)/7272 = 34,05 mm

Відповідь

ȳ = 34,05 mm
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 168,9 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·120 − 1600·168)/(36000 − 1600) = 117,8 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·240³/12 + 36000·2,233² = 173 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

80·20³/12 + 1600·50,23² = 4,091 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 168,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 168,9 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 31,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 100 − 70) = 63,43°

Кут на елементі

θp = 31,72°

Відповідь

θp = 31,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σvM = 134,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 85 MPa, R = 60,21 MPa
σ1 = 145,2 MPa, σ2 = 24,79 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √(145,2² − 145,2·24,79 + 24,79²) = 134,5 MPa

Відповідь

σvM = 134,5 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δB = 8,659 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 4,557 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002734 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,659 mm

Відповідь

δB = 8,659 mm
12.Прогин балки

Відповідь: MA = 40 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

MA = wL²/2 − RB·L = 160 − 120 = 40 kN·m

Відповідь

MA = 40 kN·m
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 2,008 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/8000² = 2008 N = 2,008 kN

Відповідь

Pcr = 2,008 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 8,567 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12,5 = 480

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σcr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials