Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 95 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 75 N·m. Два кінці розрахункової довжини 300 mm повертаються один відносно одного на 6,65° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 75 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 6,65°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 1,5 m від A, діє обертовий момент 750 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 100 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 2 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP = 55 kN у 9 mw = 6 kN/m від 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 190 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 280 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 190 mmH = 280 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 90 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 2 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,273 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0006366·2000 mm = 1,273 mm

Відповідь

δ = 1,273 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 302,4 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 302,4 MPa

Відповідь

σ_max = 302,4 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 39 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 6,65·π/180 = 0,1161 rad

Модуль зсуву

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·300/(4970·0,1161) = 39005 MPa

G = 39 GPa

Відповідь

G = 39 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 160,3 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 750 = 850 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·30³) = 160,3 MPa

Відповідь

τ_max = 160,3 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 4 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 20 − 8·2 = 4 kN

Відповідь

V_x = 4 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 105 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·9 + 6·10·5

R_B = 795/10 = 79,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 79,5 = 35,5 kN

Де V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 35,5/6 = 5,917 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 35,5·5,917 − 6·5,917²/2 = 105 kN·m

Відповідь

M_max = 105 kN·m

Це в точці x = 5,917 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 768,1 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 280 − 2·14 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·280³ − 180·252³)/12

I_x = 1,075 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 1,075 × 10⁸/140

S_x = 768059 mm³ = 768,1 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 768,1 × 10³ mm³

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 2400·90)/(18000 − 2400) = 72,69 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·2,308² = 33,85 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·17,31² = 1,039 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 32,81 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 84,85 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 0 − 110) = 169,7°

Кут на елементі

θ_p = 84,85°

Відповідь

θ_p = 84,85°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 85,36 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 110 + 20·0,5 + 40·−0,866 = 85,36 MPa

Відповідь

σ_θ = 85,36 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,404 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,404 mm

Відповідь

δ = 1,404 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 7,062 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 7,062 mm

Відповідь

δ_max = 7,062 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Відповідь

P_cr = 21,7 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 16,11 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/5 = 350

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Відповідь

σ_cr = 16,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials