Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 30 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 3,33° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 3,33°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 10 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 10 kN/m від 0 до 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 30 kN у 2 mw = 4 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 45 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 60 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент M_allow, який може витримати балка.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 350 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 8 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 6039 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/70000 = 0,006039 = 6039 µε

Відповідь

ε = 6039 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 244,9 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0004545) = 0,0004545 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0004545·5,388 × 10⁸ = 244901 N = 244,9 kN

Відповідь

P_max = 244,9 kN

3.Кручення валів

Відповідь: G = 25,96 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,33·π/180 = 0,05812 rad

Модуль зсуву

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,05812) = 25964 MPa

G = 25,96 GPa

Відповідь

G = 25,96 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 41,12 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 41,12 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(25,31, 41,12) = 41,12 mm

Відповідь

d = 41,12 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 93,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 50·2,5 − 10·2,5·1,25 = 93,75 kN·m

Відповідь

M_x = 93,75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 38 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 4·4·2

R_B = 92/4 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 23 = 23 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 23·2 − 4·2·1 = 38 kN·m

Відповідь

M_x = 38 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1257·45)/(30000 − 1257) = 76,31 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,312² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 20,57 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (3000·305 + 4200·150)/7200 = 214,6 mm

верхній край: c = 310 − 214,6 = 95,42 mm

Момент інерції перерізу

I = 300·10³/12 + 3000·90,42² + 14·300³/12 + 4200·64,58² = 7,357 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 90·7,357 × 10⁷/95,42 = 69,39 kN·m

нижній край: M = 60·7,357 × 10⁷/214,6 = 20,57 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 20,57 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 20,57 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 55,9 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−20 − 90)/2)² + 10²) = 55,9 MPa

Відповідь

τ_max = 55,9 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 1,941

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 35 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 125,1 MPa, σ₂ = −55,14 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 350/180,3 = 1,941

Відповідь

n = 1,941

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,01085 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,01085 rad

Відповідь

θ_A = 0,01085 rad

Це 0,6217°.

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 64 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 256 − 192 = 64 kN·m

Відповідь

M_A = 64 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 135,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135,7 kN

Відповідь

P_cr = 135,7 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 35,37 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 35,37 mm

Відповідь

d = 35,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 118,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials