Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 50 kNділянка 1: Ø35 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 1,5 m далі, діє момент 400 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 400 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 4 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mw = 12 kN/m від 0 до 7 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 180 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 160 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 6 mm. Він сприймає згинальний момент 40 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 160 mmH = 300 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 40 mm сприймає осьову розтягувальну силу 20 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 40 mmF = 20 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 4775 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Відповідь

ε = 4775 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 159,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 159,2 MPa

Відповідь

σ_max = 159,2 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,694 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·613592) = 0,04701 rad

φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Відповідь

φ = 2,694°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 19,95 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 200 = 600 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 600000·800/(39000·79522) = 0,1548 rad

φ_BC = 400000·1500/(39000·79522) = 0,1935 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,1548 + 0,1935 = 0,3482 rad → |φ_C| = 19,95°

Відповідь

φ_C = 19,95°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 6,667 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 36,67, M_C = 53,33 kN·m, M_D = 40, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 53,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 93,02 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·7·3,5

R_B = 294/8 = 36,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 36,75 = 47,25 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 47,25/12 = 3,938 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 47,25·3,938 − 12·3,938²/2 = 93,02 kN·m

Відповідь

M_max = 93,02 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 706,9·180)/(30000 − 706,9) = 149,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·0,7239² = 225 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 32,59 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 300 − 2·24 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·300³ − 154·252³)/12

I_x = 1,546 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 150 − 24 = 126 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·126/1,546 × 10⁸ = 32,59 MPa

Відповідь

σ_j = 32,59 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −45 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −70 − −70) = −90°

Кут на елементі

θ_p = −45°

Відповідь

θ_p = −45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 29,38 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = 20000/(π·40²/4) = 20000/1257 = 15,92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 7,958 MPa

R = √(7,958² + 19,89²) = 21,43 MPa

σ₁ = C + R = 29,38 MPa

σ₂ = C − R = −13,47 MPa

Відповідь

σ₁ = 29,38 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,009454 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,009454 rad

Відповідь

θ_A = 0,009454 rad

Це 0,5417°.

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁷ mm⁴

I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 30 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,179 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2800² = 9179 N = 9,179 kN

Відповідь

P_cr = 9,179 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 15,67 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Відповідь

σ_cr = 15,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials