Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 30 mm, внутрішній діаметр 21 mm, довжина 1,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 250 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 250 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 1 m від A, діє обертовий момент 500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2 m далі, діє момент 1000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть величину кута закручування φ_C кінця C у градусах.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1 mBC = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 6,5 mw = 5 kN/m від 0 до 6,5 mопори в x = 0 і x = 5 m

x_c = m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 120 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 190 mm. Основа й полиці мають товщину 10 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 190 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 20 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 3 mP = 80 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 111,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/3,596 × 10⁻⁶ = 111243 N = 111,2 kN

Відповідь

P = 111,2 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 74,1 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 100000·388772/742201 = 52381 N

Напруження

σ₂ = 52381/706,9 = 74,1 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 74,1 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,68 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Кут закручування

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·60428) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Відповідь

φ = 13,68°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 8,979 °

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 500 = 500 N·m

Кут закручування кожної ділянки

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2000/(26000·613592) = 0,1254 rad

Кут закручування кінця C

φ_C = 0,03134 + 0,1254 = 0,1567 rad → |φ_C| = 8,979°

Відповідь

φ_C = 8,979°

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 44 kN, R₂ = 44 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 144, M_D = 192 kN·m, M_E = 144, M_F = 80, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 192 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 4,55 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6,5 = 32,5 kN, прикладена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6,5·3,25

R_B = 105,6/5 = 21,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32,5 − 21,13 = 11,38 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11,38/5 = 4,55 m

Відповідь

x_c = 4,55 m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 17,85 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 120·10 = 1200 mm², y₁ = 5 mm

дві полиці: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (1200·5 + 3600·100)/4800 = 76,25 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 120·10³/12 + 1200·(5 − 76,25)² = 6,102 × 10⁶ mm⁴

дві полиці: 2·10·180³/12 + 3600·(100 − 76,25)² = 1,175 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,102 × 10⁶ + 1,175 × 10⁷

I_x = 1,785 × 10⁷ mm⁴ = 17,85 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 17,85 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 55,93 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1200·60)/(30000 − 1200) = 75,63 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,625² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·20³/12 + 1200·−15,63² = 0,333 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 55,93 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 55,93 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 89,44 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((130 − −30)/2)² + 40²) = 89,44 MPa

Відповідь

τ_max = 89,44 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −20 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 10 + 90·0 + −30·1 = −20 MPa

Відповідь

σ_θ = −20 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 10,58 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 10,58 mm

Відповідь

δ_max = 10,58 mm

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 45 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 120 − 75 = 45 kN·m

Відповідь

M_A = 45 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,559 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2,559 kN

Відповідь

P_cr = 2,559 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 19,28 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Відповідь

σ_cr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials