Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 75 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (латунь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 40 mm і довжину 1,2 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 1,5 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 500 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 15 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 2 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

25 kN @ 6 m50 kN @ 1 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 7,97 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 373/117000 = 0,003188 = 3188 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,003188·2500 mm = 7,97 mm

Відповідь

δ = 7,97 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 563,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5027 = 4,932 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (алюміній)

Найбільше навантаження

P_max = 0,001143·4,932 × 10⁸ = 563691 N = 563,7 kN

Відповідь

P_max = 563,7 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 17,36 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·1200/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ_BC = 500000·1500/(39000·79522) = 0,2418 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,06121 + 0,2418 = 0,303 rad = 17,36°

Відповідь

φ_C = 17,36°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 17,55 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17,55 mm

Відповідь

d = 17,55 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 20,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 108,3, M_C = 166,7 kN·m, M_D = 125, M_E = 83,33, M_F = 41,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 166,7 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 33 kN, R₂ = 58 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 31, M_C = 8, M_D = −19, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −50 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1257·60)/(15000 − 1257) = 76,37 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,372² = 28,15 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−16,37² = 0,4625 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 389,9 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стінка: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·210 + 1600·100)/4000 = 166 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·20³/12 + 2400·(210 − 166)² = 4,726 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·200³/12 + 1600·(100 − 166)² = 1,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,726 × 10⁶ + 1,23 × 10⁷ = 1,703 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 166 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·166/1,703 × 10⁷ = 389,9 MPa

Відповідь

σ_низ = 389,9 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 60,83 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−40 − −60)/2)² + 60²) = 60,83 MPa

Відповідь

τ_max = 60,83 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 89,49 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 95 + −25·−0,1736 + −10·0,9848 = 89,49 MPa

Відповідь

σ_θ = 89,49 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 33,75 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 33,75 mm

Відповідь

δ = 33,75 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22,22) = 7,2 × 10⁷ mm⁴

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 263,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2500² = 263189 N = 263,2 kN

Відповідь

P_cr = 263,2 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 40,08 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 40,08 mm

Відповідь

d = 40,08 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 199,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials