Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 60 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 55 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 3000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

20 kN @ 6 m60 kN @ 2 m6 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає згинальний момент 300 N·m разом з обертовим моментом 200 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmM = 300 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 13,26 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113,1 = 530,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 530,5/100000 = 0,005305 = 5305 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,005305·2500 mm = 13,26 mm

Відповідь

δ = 13,26 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 175,1 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 175,1 MPa

Відповідь

σ_max = 175,1 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 6,129 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·38350) = 0,107 rad

φ = 0,107·180/π = 6,129°

Відповідь

φ = 6,129°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 30,01 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Відповідь

d = 30,01 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 60,67 kN, R₂ = 42,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 105,3 kN·m, M_D = 91, M_E = 68,67, M_F = 38,33, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 105,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 47 kN, R₂ = 63 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 44, M_C = 82 kN·m, M_D = 54, M_E = 20, M_F = −20, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 82 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·100 − 706,9·140)/(30000 − 706,9) = 99,03 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·200³/12 + 30000·0,9652² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·40,97² = 1,226 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 65,17 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стінка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·187,5 + 1800·90)/6000 = 158,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·15³/12 + 4200·(187,5 − 158,3)² = 3,672 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 158,3)² = 1,324 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,672 × 10⁶ + 1,324 × 10⁷ = 1,692 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 195 − 158,3 = 36,75 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·36,75/1,692 × 10⁷ = 65,17 MPa

Відповідь

σ_верх = 65,17 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 45 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −30 − −30) = 90°

Кут на елементі

θ_p = 45°

Відповідь

θ_p = 45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 420,5 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·20³) = 382 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 191 MPa

R = √(191² + 127,3²) = 229,5 MPa

σ₁ = C + R = 420,5 MPa

σ₂ = C − R = −38,55 MPa

Відповідь

σ₁ = 420,5 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,003971 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,003971 rad

Відповідь

θ_A = 0,003971 rad

Це 0,2275°.

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·11000·22,22) = 1,309 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 11,07 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Відповідь

P_cr = 11,07 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 2,763 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Відповідь

σ_cr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials