Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmАлюміній1 mP = 20 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 25 mmМідь1,5 mØ 20 mmМідь2 mP = 25 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 25 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d = 15 mmT = 20 N·m250 mmφ = 2,22°

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 2,22° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,22°
G = GPa
4.Кручення валівСкладна
do​ = ?5 kW, 1000 rpm

Порожнистий вал має передавати 5 kW при 1000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр do.

P = 5 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,6τallow = 80 MPa
do = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 40 kNP2​ = 60 kNAB3,5 m0,5 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 6 mP1 = 40 kN у 3,5 mP2 = 60 kN у 4 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mABC4 m2 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.

L = 6 mw = 12 kN/m від 0 до 6 mопори в x = 0 і x = 4 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
150 mm150 mm105 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 150 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2303002212xM = 80 kN·mрозміри в mm

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 230 mm і товщиною 22 mm, повну висоту 300 mm і стінку товщиною 12 mm. Він сприймає згинальний момент 80 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σmax у перерізі.

B = 230 mmH = 300 mmtf = 22 mmtw = 12 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 100σy​ = 70τxy​ = 60MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 60 MPa, σz = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τabs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 20σy​ = 10τxy​ = −20MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Границя текучості матеріалу 350 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σx = 20 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
11.Прогин балкиСередня
P = 19 kNABδ0,5 m3,5 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 19 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 2 kN/mABδ4 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 75 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 75 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 5 m40 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 50 kNL = 2 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1421 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε

Відповідь

ε = 1421 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 79,58 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 50,93 MPa
σ2 = 79,58 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 79,58 MPa

Відповідь

σmax = 79,58 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: G = 25,96 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 2,22·π/180 = 0,03875 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(4970·0,03875) = 25964 MPa
G = 25,96 GPa

Відповідь

G = 25,96 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: do = 15,17 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·80·0,8704)) = 15,17 mm
di = 0,6·15,17 = 9,103 mm

Відповідь

do = 15,17 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 14,49 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 128,3 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·6 = 40·3,5 + 60·4
RB = 380/6 = 63,33 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 63,33 = 36,67 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·3,5 = 36,67·3,5 = 128,3 kN·m
під P2: M = RB·2 = 63,33·2 = 126,7 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 128,3 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 128,3 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 13,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·6·3
RB = 216/4 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 54 = 18 kN

Нульова поперечна сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 18/12 = 1,5 m

Максимальний додатний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18²/(2·12) = 13,5 kN·m

Відповідь

Mmax = 13,5 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72,13 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·150³/12 + 22500·2,868² = 42,37 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,87² = 2,428 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 39,94 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σmax = 56,41 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − tw) і висоту hw = H − 2tf та спільну вісь x.

hw = 300 − 2·22 = 256 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·300³ − 218·256³)/12
Ix = 2,127 × 10⁸ mm⁴

Напруження згину

y = 150 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·150/2,127 × 10⁸ = 56,41 MPa

Відповідь

σmax = 56,41 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τabs = 73,42 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σmax − σmin)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження в площині

C = 85 MPa, R = √(15² + 60²) = 61,85 MPa
σ1 = 146,8 MPa, σ2 = 23,15 MPa, σz = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(123,7, 146,8, 23,15)/2 = 73,42 MPa

Відповідь

τabs = 73,42 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 8,489

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = 15 MPa, R = 20,62 MPa
σ1 = 35,62 MPa, σ2 = −5,616 MPa, σ3 = 0

Треска

σmax − σmin = 41,23 MPa
n = 350/41,23 = 8,489

Відповідь

n = 8,489

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δB = 5,655 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 19000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 0,4917 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001475 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5,655 mm

Відповідь

δB = 5,655 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 205,9 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11,11) = 5,455 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,455 × 10⁷/75)1/3 = 205,9 mm

Відповідь

hreq = 205,9 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 134,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134,8 kN

Відповідь

Pcr = 134,8 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 51,84 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 51,84 mm

Відповідь

d = 51,84 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 108, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials