Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 50 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 15 kW при 500 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa, а кут закручування — 1° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 2 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 9 mw = 2 kN/m від 0 до 9 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 600 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 35° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 13 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 125 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 125 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 131,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

Навантаження

P = 0,4/3,048 × 10⁻⁶ = 131231 N = 131,2 kN

Відповідь

P = 131,2 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 391,1 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·6,519 × 10⁸ = 391128 N = 391,1 kN

Відповідь

P_max = 391,1 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 7,662 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Відповідь

φ = 7,662°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 38,02 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,02 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(28,97, 38,02) = 38,02 mm

Відповідь

d = 38,02 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 6,667 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 26,67 kN·m, M_D = 20, M_E = 13,33, M_F = 6,667, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 26,67 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 15,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·9·4,5

R_B = 81/8 = 10,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10,13 = 7,875 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,875/2 = 3,938 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,875²/(2·2) = 15,5 kN·m

Відповідь

M_max = 15,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,12 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стінка: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·130 + 1680·60)/6080 = 110,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·20³/12 + 4400·(130 − 110,7)² = 1,793 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·120³/12 + 1680·(60 − 110,7)² = 6,327 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,793 × 10⁶ + 6,327 × 10⁶ = 8,12 × 10⁶ mm⁴ = 8,12 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,12 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 75,09 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стінка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 2800·70)/7600 = 120,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·20³/12 + 4800·(150 − 120,5)² = 4,33 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 120,5)² = 1,172 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,33 × 10⁶ + 1,172 × 10⁷ = 1,605 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 120,5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·120,5/1,605 × 10⁷ = 75,09 MPa

Відповідь

σ_низ = 75,09 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 47,86 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 110 − 120) = 95,71°

Кут на елементі

θ_p = 47,86°

Відповідь

θ_p = 47,86°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 50,13 MPa

Напруження в стінці

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/10 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 30·sin²35° + 60·cos²35° = 50,13 MPa

Відповідь

σ_n = 50,13 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,906 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 2,906 mm

Відповідь

δ_max = 2,906 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 17,15 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·9,24 × 10¹¹) = 17,15 mm

Відповідь

δ_mid = 17,15 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,646 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9,646 kN

Відповідь

P_cr = 9,646 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 62,73 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Відповідь

d = 62,73 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 127,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials