Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
P = ?12500 mm500 mmØ20Ø30δ = 0,25 mm

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 40 mmЛатунь2 mØ 16 mmСталь0,5 mP = 30 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 30 kNділянка 1: Ø40 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Кручення валівСередня
T = 500 N·md = 25 mmL = 1,2 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 750 N·mABC3 m3 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 3 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 3 m далі, діє момент 750 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 40 mmTB = 2000 N·mTC = 750 N·mAB = 3 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
4 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 5 kN/mP = 25 kNABпереріз3 m3 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 25 kN у 3 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
1801016018xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
200 mm150 mm97,5 mm30 × 20xIx​ = ?

Пластина 200 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 20 mmцентр отвору: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 60σy​ = 100τxy​ = −50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 160σy​ = 40τxy​ = 40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = 160 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mABθ1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
w = 12 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колонСередня
PL = 6 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 80 kNL = 2,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 80 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 80 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 18,05 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/1,385 × 10⁻⁵ = 18047 N = 18,05 kN

Відповідь

P = 18,05 kN
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,8505 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 23,87 MPa
σ2 = 149,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ1 = σ1L1/E1 = 23,87·2000/100000 = 0,4775 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149,2·500/200000 = 0,373 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,8505 mm

Відповідь

δ = 0,8505 mm
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 11,21 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·38350) = 0,1956 rad
φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Відповідь

φ = 11,21°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 99,47 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 2000 = −1250 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1,25 × 10⁶/(π·40³) = 99,47 MPa

Відповідь

τmax = 99,47 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 27 kN, R2 = 42 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 25, MC = 46, MD = 63, ME = 76 kN·m, MF = 40, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = 76 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 60 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3 + 5·6·3
RB = 165/6 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = 27,5RB​ = 27,5переріз3 m3 m

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 27,5·3 − 5·3·1,5 = 60 kN·m

Відповідь

Mx = 60 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 14,16 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
стінка: Aw = 18·160 = 2880 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·165 + 2880·80)/4680 = 112,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·10³/12 + 1800·(165 − 112,7)² = 4,94 × 10⁶ mm⁴
стінка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 112,7)² = 9,222 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4,94 × 10⁶ + 9,222 × 10⁶ = 1,416 × 10⁷ mm⁴ = 14,16 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 14,16 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 55,92 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 600·97,5)/(30000 − 600) = 74,54 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·0,4592² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·20³/12 + 600·22,96² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 55,92 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 55,92 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 53,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((60 − 100)/2)² + −50²) = 53,85 MPa

Відповідь

τmax = 53,85 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 104,6 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 100 + 60·−0,5 + 40·0,866 = 104,6 MPa

Відповідь

σθ = 104,6 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,002511 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 15·1500³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,002511 rad

Відповідь

θA = 0,002511 rad

Це 0,1439°.

12.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 27,56 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Відповідь

Pcr = 27,56 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 88,71 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,71 mm

Відповідь

d = 88,71 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 225,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials