Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
80 kNØ25120 GPaØ100/60500 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø20100 GPaØ100/60500 mm

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 20 mmT0​ = 250 N·mACBa = 1,2 mb = 1,5 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 20 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,2 m від A і 1,5 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут повороту φC перерізу C у градусах.

d = 20 mmT0 = 250 N·ma = 1,2 mb = 1,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
45 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 4 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 5 kN/mP = 60 kNABпереріз0,5 m4 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 60 kN у 4,5 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
100 mm200 mm60 mmØ50xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
100 mm300 mm120 mm60 × 20xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmвиріз: 60 × 20 mmцентр отвору: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 0σy​ = 40τxy​ = 30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 0 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = −20σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Границя текучості матеріалу 275 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σx = −20 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Прогин балкиСередня
P = 29 kNABδ2 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 29 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm
hreq = mm
13.Стійкість колонСередня
PL = 3 m20 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 150 kNL = 2,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,05703 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·500/7,014 × 10⁸ = 0,05703 mm

Відповідь

δ = 0,05703 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 339,3 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·5027 = 5,655 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0006·5,655 × 10⁸ = 339292 N = 339,3 kN

Відповідь

Pmax = 339,3 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,137 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·251327) = 0,0373 rad
φ = 0,0373·180/π = 2,137°

Відповідь

φ = 2,137°
4.Кручення валів

Відповідь: φC = 15,59 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1,5/2,7 = 138,9 N·m
TB = 250·1,2/2,7 = 111,1 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає TA.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 138889·1200/(39000·15708) = 0,2721 rad = 15,59°

Відповідь

φC = 15,59°
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 67,5 kN, R2 = 22,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 135, MC = 180 kN·m, MD = 135, ME = 90, MF = 45, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 180 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 14,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4,5 + 5·6·3
RB = 360/6 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 60 = 30 kN
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = 30RB​ = 60переріз0,5 m4 m1,5 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 30·0,5 − 5·0,5·0,25 = 14,38 kN·m

Відповідь

Mx = 14,38 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,354² = 67,05 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−44,35² = 4,17 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 62,88 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 223,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1200·120)/(30000 − 1200) = 151,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·−1,25² = 225 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·20³/12 + 1200·−31,25² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 223,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 223,8 × 10⁶ mm⁴
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 61,85 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 0 − 40) = 123,7°

Кут на елементі

θp = 61,85°

Відповідь

θp = 61,85°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 4,055

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σY; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Головні напруження

C = −35 MPa, R = 33,54 MPa
σ1 = −1,459 MPa, σ2 = −68,54 MPa, σ3 = 0

Мізес

σvM = √((−1,459)² − (−1,459)·(−68,54) + (−68,54)²) = 67,82 MPa
n = 275/67,82 = 4,055

Відповідь

n = 4,055

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δP = 21,66 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 29000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·2000²·1000²/(3·5,95 × 10¹¹·3000) = 21,66 mm

Відповідь

δP = 21,66 mm
12.Прогин балки

Відповідь: hreq = 154 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,568 × 10⁷/150)1/3 = 154 mm

Відповідь

hreq = 154 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 11,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11,7 kN

Відповідь

Pcr = 11,7 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 99,18 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 99,18 mm

Відповідь

d = 99,18 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 201,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials