Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 5 kN/m від 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 35 kN у 3 mw = 8 kN/m від 0 до 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 156 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 100 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 350 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = 160 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 89,29 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/3,36 × 10⁻⁶ = 89287 N = 89,29 kN

Відповідь

P = 89,29 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 14,53 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·219911/722566 = 18261 N

Напруження

σ₂ = 18261/1257 = 14,53 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 14,53 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,052 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·251327) = 0,01836 rad

φ = 0,01836·180/π = 1,052°

Відповідь

φ = 1,052°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 8,83 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,704 × 10⁶ = 8,83 MPa

Відповідь

τ_max = 8,83 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 4,375 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 10·3,5 − 5·3,5·1,75 = 4,375 kN·m

Відповідь

M_x = 4,375 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 88,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 8·6·3

R_B = 249/6 = 41,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 41,5 = 41,5 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 41,5·3 − 8·3·1,5 = 88,5 kN·m

Відповідь

M_x = 88,5 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9678² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36,97² = 1,843 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 11,3 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (6500·172,5 + 1920·80)/8420 = 151,4 mm

верхній край: c = 185 − 151,4 = 33,59 mm

Момент інерції перерізу

I = 260·25³/12 + 6500·21,09² + 12·160³/12 + 1920·71,41² = 1,712 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 30·1,712 × 10⁷/33,59 = 15,29 kN·m

нижній край: M = 100·1,712 × 10⁷/151,4 = 11,3 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 11,3 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 11,3 kN·m

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −76,72 °

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −30/33,54 = −0,8944, sin 2θ_s = −15/33,54 = −0,4472

2θ_s = atan2(−15, −30) = −153,4°

Кут на елементі

θ_s = −76,72°

перевірка: θ_s − θ_p = −76,72 − (−31,72) = −45°

Відповідь

θ_s = −76,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,147

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 95 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 163 MPa, σ₂ = 26,99 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 163 MPa

n = 350/163 = 2,147

Відповідь

n = 2,147

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,0496 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 8·5000³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,0496 rad

Відповідь

θ_A = 0,0496 rad

Це 2,842°.

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 188,1 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·20) = 5,549 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·5,549 × 10⁷/100)^1/3 = 188,1 mm

Відповідь

h_req = 188,1 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 34,88 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Відповідь

P_cr = 34,88 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 42,63 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,63 mm

Відповідь

d = 42,63 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 187,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials