Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 10 mmМідь3 mP = 80 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 80 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
P = ?Ø2070 GPaØ100/60400 mm

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження Pmax.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Кручення валівСередня
T = 200 N·md = 20 mmL = 1 mφ = ?

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 40 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 1000 N·mABC2,5 m0,5 m

Суцільний вал (латунь) діаметром 40 mm закріплений в A. У B, на відстані 2,5 m від A, діє обертовий момент 100 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,5 m далі, діє момент 1000 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 1000 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 4 kN/mABпереріз2,5 m3,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mP = 45 kNABпереріз1 m4 m5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 45 kN у 5 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
100 mm200 mm130 mmØ60xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 130 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
1201522014xM = 15 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 220 mmM = 15 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −40σy​ = 10τxy​ = 30MPa

У точці σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 35° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σy′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​поверхня вала

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову стискальну силу 50 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ1.

d = 20 mmF = −50 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.Прогин балкиСередня
P = 22 kNABδ1 m2 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 22 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mAB8 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту MA у защемленні.

L = 8 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.Стійкість колонСередня
PL = 5 m30 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 90 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 26,12 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1019/117000 = 0,008706 = 8706 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,008706·3000 mm = 26,12 mm

Відповідь

δ = 26,12 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: Pmax = 296,2 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5027 = 4,147 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0007143) = 0,0007143 (алюміній)

Найбільше навантаження

Pmax = 0,0007143·4,147 × 10⁸ = 296207 N = 296,2 kN

Відповідь

Pmax = 296,2 kN
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 18,71 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·15708) = 0,3265 rad
φ = 0,3265·180/π = 18,71°

Відповідь

φ = 18,71°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 79,58 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Внутрішні крутні моменти

Напрямок TC прийнято за додатний.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 100 = 900 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Відповідь

τmax = 79,58 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 17,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12переріз2,5 m3,5 m

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 12·2,5 − 4·2,5·1,25 = 17,5 kN·m

Відповідь

Mx = 17,5 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 58,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·5 + 8·10·5
RB = 625/10 = 62,5 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 62,5 = 62,5 kN
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​ = 62,5RB​ = 62,5переріз1 m4 m5 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 62,5·1 − 8·1·0,5 = 58,5 kN·m

Відповідь

Mx = 58,5 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95,06 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 63,07 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 43,53 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 220 + 15/2 = 227,5 mm
стінка: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·227,5 + 3080·110)/4880 = 153,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 153,3)² = 9,933 × 10⁶ mm⁴
стінка: 14·220³/12 + 3080·(110 − 153,3)² = 1,821 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,933 × 10⁶ + 1,821 × 10⁷ = 2,814 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 235 − 153,3 = 81,66 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·81,66/2,814 × 10⁷ = 43,53 MPa

Відповідь

σверх = 43,53 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σy′ = −34,64 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σy′ = −15 − (−25)·0,342 − 30·0,9397 = −34,64 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σx′ = 4,64 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy

Відповідь

σy′ = −34,64 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ1 = 98,36 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = F/A = −50000/(π·20²/4) = −50000/314,2 = −159,2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa
στxyCσ1​σ2​

Коло Мора

C = σ/2 = −79,58 MPa
R = √((−79,58)² + 159,2²) = 177,9 MPa
σ1 = C + R = 98,36 MPa
σ2 = C − R = −257,5 MPa

Відповідь

σ1 = 98,36 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δB = 2,619 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 0,6548 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0009821 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,619 mm

Відповідь

δB = 2,619 mm
12.Прогин балки

Відповідь: MA = 40 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

MA = wL²/2 − RB·L = 160 − 120 = 40 kN·m

Відповідь

MA = 40 kN·m
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 12,69 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3500² = 12689 N = 12,69 kN

Відповідь

Pcr = 12,69 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 104,4 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 104,4 mm

Відповідь

d = 104,4 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 306,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials