Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
80 kNØ30110 GPaØ120/70600 mmδ = ?

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
Ø 30 mmАлюміній1,5 mØ 16 mmСталь1 mP = 55 kN

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.

P = 55 kNділянка 1: Ø30 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Кручення валівСередня
d = ?T = 2000 N·mL = 0,5 m

Суцільний вал (латунь) завдовжки 0,5 m передає обертовий момент 2000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 3°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 2000 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Кручення валівСкладна
d = ?5 kW, 1450 rpm

Суцільний вал (латунь) передає 5 kW при 1450 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 0,5° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 55 kNP2​ = 20 kNAB1 m6 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 8 mP1 = 55 kN у 1 mP2 = 20 kN у 7 m
Mmax = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mABC8 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.

L = 9 mw = 6 kN/m від 0 до 9 mопори в x = 0 і x = 8 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
100 mm200 mm60 mmØ30xIx​ = ?

Пластина 100 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2002530020xдодатний Mрозміри в mm

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 50 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший додатний згинальний момент Mallow, який може витримати балка.

bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 300 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 110σy​ = 40τxy​ = 30MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = 110 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = 160σy​ = 70τxy​ = −40MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σx = 160 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Прогин балкиСкладна
P = 80 kNAB4 m4 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.

L = 8 mP = 80 kN у 4 m
RB = kN
13.Стійкість колонСередня
PL = 3 m20 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 85 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 85 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 85 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,04989 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·600/9,621 × 10⁸ = 0,04989 mm

Відповідь

δ = 0,04989 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σmax = 273,5 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 77,81 MPa
σ2 = 273,5 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σmax = 273,5 MPa

Відповідь

σmax = 273,5 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: d = 47,26 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·500/(39000·0,05236) = 489708 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)1/4 = 47,26 mm

Відповідь

d = 47,26 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 31,51 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm
dτ = ∛(16·32929/(π·80)) = 12,8 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·32929/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 31,51 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(12,8, 31,51) = 31,51 mm

Відповідь

d = 31,51 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 50,63 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·8 = 55·1 + 20·7
RB = 195/8 = 24,38 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 24,38 = 50,63 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1 = 50,63·1 = 50,63 kN·m
під P2: M = RB·1 = 24,38·1 = 24,38 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 50,63 kN·m (під P1)

Відповідь

Mmax = 50,63 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 46,51 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·9 = 54 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·9·4,5
RB = 243/8 = 30,38 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 30,38 = 23,63 kN

Нульова поперечна сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 23,63/6 = 3,938 m

Максимальний додатний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 23,63²/(2·6) = 46,51 kN·m

Відповідь

Mmax = 46,51 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 65,45 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (20000·100 − 706,9·60)/(20000 − 706,9) = 101,5 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,466² = 66,71 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−41,47² = 1,255 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 65,45 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 65,45 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Mallow = 26,19 kN·m

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Центр ваги

ȳ = (5000·312,5 + 6000·150)/11000 = 223,9 mm
верхній край: c = 325 − 223,9 = 101,1 mm

Момент інерції перерізу

I = 200·25³/12 + 5000·88,64² + 20·300³/12 + 6000·73,86² = 1,173 × 10⁸ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Додатний момент: верх стиснутий, низ розтягнутий.

верхній край: M = 90·1,173 × 10⁸/101,1 = 104,4 kN·m
нижній край: M = 50·1,173 × 10⁸/223,9 = 26,19 kN·m

Визначальне значення

Mallow = min = 26,19 kN·m (нижній край)

Відповідь

Mallow = 26,19 kN·m
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = 20,3 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 110 − 40) = 40,6°

Кут на елементі

θp = 20,3°

Відповідь

θp = 20,3°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 175,2 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 115 + 45·0,766 + −40·−0,6428 = 175,2 MPa

Відповідь

σθ = 175,2 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,73 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,73 mm

Відповідь

δmax = 1,73 mm
12.Прогин балки

Відповідь: RB = 25 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Відповідь

RB = 25 kN
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 16,38 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1500² = 16376 N = 16,38 kN

Відповідь

Pcr = 16,38 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,39 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 64,39 mm

Відповідь

d = 64,39 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 173,9, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials