Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (алюміній) під дією осьового навантаження.

P = 115 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 50 kW при 1800 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP₁ = 45 kN у 6 mP₂ = 80 kN у 9 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7,5 mw = 5 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 40 мм і заввишки 20 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 40 × 20 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 8 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 3 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 30 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 15,69 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/70000 = 0,005229 = 5229 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,005229·3000 mm = 15,69 mm

Відповідь

δ = 15,69 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 321,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5027 = 4,5 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (алюміній)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007143·4,5 × 10⁸ = 321452 N = 321,5 kN

Відповідь

P_max = 321,5 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,873 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·38350) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Відповідь

φ = 2,873°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 26,87 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·80·0,8704)) = 26,87 mm

d_i = 0,6·26,87 = 16,12 mm

Відповідь

d_o = 26,87 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 25,66 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 156 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 80·9

R_B = 990/10 = 99 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 99 = 26 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·6 = 26·6 = 156 kN·m

під P₂: M = R_B·1 = 99·1 = 99 kN·m

Найбільше значення

M_max = 156 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 156 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 8,789 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/5 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,375/5 = 1,875 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,375²/(2·5) = 8,789 kN·m

Відповідь

M_max = 8,789 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 15,65 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стінка: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·185 + 2520·90)/4120 = 126,9 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·10³/12 + 1600·(185 − 126,9)² = 5,416 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·180³/12 + 2520·(90 − 126,9)² = 1,023 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,416 × 10⁶ + 1,023 × 10⁷ = 1,565 × 10⁷ mm⁴ = 15,65 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 15,65 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 800·60)/(24000 − 800) = 101,4 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,379² = 80,05 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

40·20³/12 + 800·−41,38² = 1,396 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 78,65 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 115,4 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((160 − −70)/2)² + 10²) = 115,4 MPa

Відповідь

τ_max = 115,4 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −1,788 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 35 + −15·−0,1736 + −40·0,9848 = −1,788 MPa

Відповідь

σ_θ = −1,788 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 4,891 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,957 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001957 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,891 mm

Відповідь

δ_B = 4,891 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 13,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Відповідь

R_B = 13,5 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,22 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Відповідь

P_cr = 24,22 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 81,55 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 81,55 mm

Відповідь

d = 81,55 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 245,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials