Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з латунь (діаметр 60 мм, довжина 200 мм, E = 100 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 10 mm закручують моментом 20 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 5,84° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 20 N·md = 10 mmL = 400 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 75 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 60 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 5 kN/m від 0 до 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7,5 mw = 10 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 6 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 150 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 180 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 0 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 45° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 27 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 8 mP = 40 kN у 4 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1035 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/200000 = 0,001035 = 1035 µε

Відповідь

ε = 1035 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 11,32 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·1,414 × 10⁶/1,767 × 10⁶ = 32000 N

Напруження

σ₂ = 32000/2827 = 11,32 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 11,32 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: G = 79,95 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Модуль зсуву

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Відповідь

G = 79,95 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 27,86 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 238,7 N·m = 238732 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·238732/(π·60·0,9375)) = 27,86 mm

d_i = 0,5·27,86 = 13,93 mm

Відповідь

d_o = 27,86 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 27,26 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 21,88 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15·3,5 − 5·3,5·1,75 = 21,88 kN·m

Відповідь

M_x = 21,88 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 39,55 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·7,5·3,75

R_B = 281,3/6 = 46,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 46,88 = 28,13 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 28,13/10 = 2,813 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 28,13²/(2·10) = 39,55 kN·m

Відповідь

M_max = 39,55 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 1963·180)/(45000 − 1963) = 148,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·1,369² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,37² = 2,239 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 335,3 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 1800·60)/(15000 − 1800) = 77,05 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·−2,045² = 28,19 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·−17,05² = 0,658 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 27,53 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 6,071 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −20 − 20·0,1736 − (−30)·0,9848 = 6,071 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −46,07 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 6,071 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 25 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 55 + 85·0 + −30·1 = 25 MPa

Відповідь

σ_θ = 25 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 1,957 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 27000·1000³/(3·4,6 × 10¹²) = 1,957 mm

Відповідь

δ_P = 1,957 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 12,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Відповідь

R_B = 12,5 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 139,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Відповідь

P_cr = 139,5 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 25,18 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Відповідь

σ_cr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials