Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 55 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 110 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 1,2 m передає обертовий момент 1000 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 1000 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 3 m від B, прикладено обертовий момент 1000 N·m. Знайдіть реактивний момент T_A у стіні A.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,5 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 8 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 10 kN у 5 mw = 10 kN/m від 0 до 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 140 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 200 mm. Основа й полиці мають товщину 16 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 140 mmh = 200 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає осьову стискальну силу 30 kN разом з обертовим моментом 250 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmF = −30 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 20 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 30 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,663 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/117000 = 0,000665 = 665 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,000665·2500 mm = 1,663 mm

Відповідь

δ = 1,663 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 4,073 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·1000/200000 = 0,5717 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/100000 = 3,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,073 mm

Відповідь

δ = 4,073 mm

3.Кручення валів

Відповідь: d = 72,04 mm

Потрібний полярний момент інерції

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1200/(26000·0,01745) = 2,644 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 72,04 mm

Відповідь

d = 72,04 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: T_A = 857,1 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·3/3,5 = 857,1 N·m

T_B = 1000·0,5/3,5 = 142,9 N·m

Відповідь

T_A = 857,1 N·m

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 35 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 80, M_D = 110, M_E = 140 kN·m, M_F = 70, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 140 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 33,33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·5 + 10·6·3

R_B = 230/6 = 38,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 38,33 = 31,67 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 31,67·5 − 10·5·2,5 = 33,33 kN·m

Відповідь

M_x = 33,33 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 32,89 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 140·16 = 2240 mm², y₁ = 8 mm

дві полиці: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

Центр ваги

ȳ = (2240·8 + 5888·108)/8128 = 80,44 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 140·16³/12 + 2240·(8 − 80,44)² = 1,18 × 10⁷ mm⁴

дві полиці: 2·16·184³/12 + 5888·(108 − 80,44)² = 2,108 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,18 × 10⁷ + 2,108 × 10⁷

I_x = 3,289 × 10⁷ mm⁴ = 32,89 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 32,89 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 357,6 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стінка: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 2800·70)/5000 = 103 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 220·10³/12 + 2200·(145 − 103)² = 3,899 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·140³/12 + 2800·(70 − 103)² = 7,623 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,899 × 10⁶ + 7,623 × 10⁶ = 1,152 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 103 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·103/1,152 × 10⁷ = 357,6 MPa

Відповідь

σ_низ = 357,6 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 18,03 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−10 − 20)/2)² + 10²) = 18,03 MPa

Відповідь

τ_max = 18,03 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 118,4 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −30000/(π·20²/4) = −30000/314,2 = −95,49 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −47,75 MPa

R = √((−47,75)² + 159,2²) = 166,2 MPa

σ₁ = C + R = 118,4 MPa

σ₂ = C − R = −213,9 MPa

Відповідь

σ₁ = 118,4 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 37,88 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 37,88 mm

Відповідь

δ_max = 37,88 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 5,952 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 20000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·4000³/(48·1,12 × 10¹³) = 2,381 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,571 mm

Додайте

δ_max = 2,381 + 3,571 = 5,952 mm

Відповідь

δ_max = 5,952 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 42,64 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Відповідь

P_cr = 42,64 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 37,11 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 37,11 mm

Відповідь

d = 37,11 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 188,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials