Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (мідь) під дією осьового навантаження.

P = 20 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 100 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) завдовжки 0,8 m передає обертовий момент 200 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 2°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 20 kW при 1000 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 4 m5 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 15 kN у 2 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1741 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/117000 = 0,0003482 = 348,2 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0003482·500 mm = 0,1741 mm

Відповідь

δ = 0,1741 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 465,6 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0009091) = 0,0008 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0008·5,82 × 10⁸ = 465584 N = 465,6 kN

Відповідь

P_max = 465,6 kN

3.Кручення валів

Відповідь: d = 36,61 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(26000·0,03491) = 176295 mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 36,61 mm

Відповідь

d = 36,61 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 25,74 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Полярний момент інерції

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/148384 = 25,74 MPa

Відповідь

τ_max = 25,74 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 20,42 kN, R₂ = 34,58 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 20,42, M_C = 38,33, M_D = 51,25, M_E = 59,17 kN·m, M_F = 32,08, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 59,17 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 39 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 12·4·2

R_B = 126/4 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 31,5 = 31,5 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 31,5·2 − 12·2·1 = 39 kN·m

Відповідь

M_x = 39 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 372,3 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·155 + 1400·70)/9200 = 142,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·30³/12 + 7800·(155 − 142,1)² = 1,89 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 142,1)² = 9,557 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,89 × 10⁶ + 9,557 × 10⁶ = 1,145 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 142,1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·142,1/1,145 × 10⁷ = 372,3 MPa

Відповідь

σ_низ = 372,3 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −45 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 100 − 100) = −90°

Кут на елементі

θ_p = −45°

Відповідь

θ_p = −45°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 113,3 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 55 + 55·0,6428 + 30·0,766 = 113,3 MPa

Відповідь

σ_θ = 113,3 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,115 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 2,115 mm

Відповідь

δ_max = 2,115 mm

12.Прогин балки

Відповідь: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,879 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4000² = 2879 N = 2,879 kN

Відповідь

P_cr = 2,879 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,567 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials