Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 35 kNділянка 1: Ø25 mm, 1,5 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 30 mm і довжину 0,5 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 250 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 100 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 7 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 6 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 15 kN у 6 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 120 mm, зовнішню висоту H = 375 mm і сталу товщину стінки t = 6 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 120 mmH = 375 mmt = 6 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 140 × 12 mm, стінку висотою 400 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 220 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 140 × 12 mmстінка: 12 × 400 mmнижня полиця: 220 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 4 mP = 75 kN у 2 m

R_B = kN

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 74,23 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/5,389 × 10⁻⁶ = 74229 N = 74,23 kN

Відповідь

P = 74,23 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 3,016 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·1500/70000 = 1,528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·1000/117000 = 1,488 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,016 mm

Відповідь

δ = 3,016 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 5,795 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·500/(80000·79522) = 0,01965 rad

φ_BC = 250000·1000/(80000·38350) = 0,08149 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,01965 + 0,08149 = 0,1011 rad = 5,795°

Відповідь

φ_C = 5,795°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 57,94 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·50)) = 57,94 mm

Відповідь

d = 57,94 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −16 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 40 − 8·7 = −16 kN

Відповідь

V_x = −16 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 132 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·6 + 8·10·5

R_B = 490/10 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 49 = 46 kN

Розріжте в x = 6 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 46·6 − 8·6·3 = 132 kN·m

Відповідь

M_x = 132 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 129,3 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 108 mm, h = 363 mm

A = BH − bh = 120·375 − 108·363 = 5796 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 9,685 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(9,685 × 10⁷/5796) = 129,3 mm

Відповідь

r = 129,3 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 258,5 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1680 mm², y = 420 mm

стінка: A = 4800 mm², y = 214 mm

нижня полиця: A = 3080 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (1680·420 + 4800·214 + 3080·7)/9560 = 183,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 140·12³/12 + 1680·236,5² = 9,398 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·400³/12 + 4800·30,49² = 6,846 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 220·14³/12 + 3080·176,5² = 9,601 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,398 × 10⁷ + 6,846 × 10⁷ + 9,601 × 10⁷

I_x = 2,585 × 10⁸ mm⁴ = 258,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 258,5 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 103 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((140 − −40)/2)² + 50²) = 103 MPa

Відповідь

τ_max = 103 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = −76,76 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −85·0,9848 + 40·0,1736 = −76,76 MPa

Відповідь

τ_θ = −76,76 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 20,35 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 20,35 mm

Відповідь

δ = 20,35 mm

12.Прогин балки

Відповідь: R_B = 23,44 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Відповідь

R_B = 23,44 kN

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 10,24 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1500² = 10235 N = 10,24 kN

Відповідь

P_cr = 10,24 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,676 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials