Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 50 мм, довжина 400 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,5 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 30 kNділянка 1: Ø40 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 25 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2 m далі, діє момент 100 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 25 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 2 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP = 25 kN у 1 mw = 2 kN/m від 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 160 mm, зовнішню висоту H = 175 mm і сталу товщину стінки t = 16 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 160 mmH = 175 mmt = 16 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 460 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 27 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 98,17 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,5/5,093 × 10⁻⁶ = 98175 N = 98,17 kN

Відповідь

P = 98,17 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 149,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 149,2 MPa

Відповідь

σ_max = 149,2 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 6,755 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Відповідь

φ = 6,755°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 97,78 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 200 = 300 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·25³) = 97,78 MPa

Відповідь

τ_max = 97,78 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 61,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 116,7, M_C = 173,3, M_D = 190 kN·m, M_E = 166,7, M_F = 103,3, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 190 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 39,06 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·1 + 2·10·5

R_B = 125/10 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 12,5 = 32,5 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (32,5 − 25)/2 = 3,75 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 39,06 kN·m

Відповідь

M_max = 39,06 kN·m

Це в точці x = 3,75 m від A.

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 64,44 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 128 mm, h = 143 mm

A = BH − bh = 160·175 − 128·143 = 9696 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,027 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(4,027 × 10⁷/9696) = 64,44 mm

Відповідь

r = 64,44 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 2400·96)/(48000 − 2400) = 121,3 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,263² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·−25,26² = 1,852 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −11,98 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 130 − −50) = −23,96°

Кут на елементі

θ_p = −11,98°

Відповідь

θ_p = −11,98°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 3,637

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = −40 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 23,25 MPa, σ₂ = −103,2 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 126,5 MPa

n = 460/126,5 = 3,637

Відповідь

n = 3,637

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 28,57 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 28,57 mm

Відповідь

δ = 28,57 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,03 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 27000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·3000³/(48·1,68 × 10¹³) = 0,904 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 0,1256 mm

Додайте

δ_max = 0,904 + 0,1256 = 1,03 mm

Відповідь

δ_max = 1,03 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 139,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Відповідь

P_cr = 139,5 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 54,62 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 54,62 mm

Відповідь

d = 54,62 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 205,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials