Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 200 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 200 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 110 kNділянка 1: Ø25 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 0,8 m від A, діє обертовий момент 2000 N·m, а на вільному кінці C, ще на 2,5 m далі, діє момент 1500 N·m у протилежному напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 2 m8 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 45 kN у 2 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 120 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 30 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 240 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 84 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmвиріз: 50 × 40 mmцентр отвору: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 22 kNa = 5 mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1856 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 200000·500/5,388 × 10⁸ = 0,1856 mm

Відповідь

δ = 0,1856 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 10,68 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 224,1·500/117000 = 0,9577 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·1000/100000 = 9,726 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,68 mm

Відповідь

δ = 10,68 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,347 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

φ = 0,02351·180/π = 1,347°

Відповідь

φ = 1,347°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 282,9 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 2000 = −500 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

Відповідь

τ_max = 282,9 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 36,67 kN, R₂ = 31,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 73,33, M_C = 106,7, M_D = 124 kN·m, M_E = 109,3, M_F = 62,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 124 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 57 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 6·4·2

R_B = 138/4 = 34,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 34,5 = 34,5 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 34,5·2 − 6·2·1 = 57 kN·m

Відповідь

M_x = 57 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (18000·75 − 706,9·97,5)/(18000 − 706,9) = 74,08 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·150³/12 + 18000·0,9197² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·23,42² = 0,4275 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 2000·84)/(48000 − 2000) = 121,6 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,565² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·40³/12 + 2000·−37,57² = 3,089 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = −20,3 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 60 − −10) = −40,6°

Кут на елементі

θ_p = −20,3°

Відповідь

θ_p = −20,3°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −9,925 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 40 + −40·0,766 + 30·−0,6428 = −9,925 MPa

Відповідь

σ_θ = −9,925 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 23,15 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·5000²·1000²/(3·1,32 × 10¹²·6000) = 23,15 mm

Відповідь

δ_P = 23,15 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,431 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·2000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 1,19 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 1,24 mm

Додайте

δ_max = 1,19 + 1,24 = 2,431 mm

Відповідь

δ_max = 2,431 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,646 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Відповідь

P_cr = 9,646 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 31,58 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Відповідь

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials