Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 10 mmАлюміній1 mP = 45 kN

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
60 kN12500 mm400 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 30 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 2 mb = 0,8 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 2000 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 2 mb = 0,8 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
4 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
5 kN/m30 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 12 m25 kN @ 4 m5 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
120 mm300 mm120 mmØ40xIx​ = ?

Пластина 120 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі Ix відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
3002028014xM = 30 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 30 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σверх на верхньому краї.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σверх = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = 150σy​ = −40τxy​ = −50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τmax.

σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​τxy​поверхня вала

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає осьову розтягувальну силу 140 kN разом з обертовим моментом 1000 N·m. На поверхні вала знайдіть найбільше головне напруження σ1.

d = 30 mmF = 140 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mABθ4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Прогин балкиСкладна
P = 10 kNAB3 m3 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту MA у защемленні.

L = 6 mP = 10 kN у 3 m
MA = kN·m
13.Стійкість колонСередня
PL = 6 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 8185 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 573/70000 = 0,008185 = 8185 µε

Відповідь

ε = 8185 µε
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 25,83 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 60000·123700/406444 = 18261 N

Напруження

σ2 = 18261/706,9 = 25,83 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 25,83 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 0,9119 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·251327) = 0,01592 rad
φ = 0,01592·180/π = 0,9119°

Відповідь

φ = 0,9119°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 269,5 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0,8/2,8 = 571,4 N·m
TB = 2000·2/2,8 = 1429 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τmax = 16·1,429 × 10⁶/(π·30³) = 269,5 MPa

Відповідь

τmax = 269,5 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 37 kN, R2 = 35 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 37, MC = 72, MD = 103 kN·m, ME = 70, MF = 35, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 103 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 34 kN, R2 = 71 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 58, MC = 96 kN·m, MD = 64, ME = 12, MF = −60, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 96 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має Ic = bh³/12, а круг — Ic = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σверх = 26,25 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
стінка: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·290 + 3920·140)/9920 = 230,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·20³/12 + 6000·(290 − 230,7)² = 2,128 × 10⁷ mm⁴
стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 230,7)² = 5,788 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,128 × 10⁷ + 5,788 × 10⁷ = 7,916 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 300 − 230,7 = 69,27 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·69,27/7,916 × 10⁷ = 26,25 MPa

Відповідь

σверх = 26,25 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τmax = 107,4 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

στxyCτmax​

Радіус кола Мора

τmax = R = √(((150 − −40)/2)² + −50²) = 107,4 MPa

Відповідь

τmax = 107,4 MPa
10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ1 = 312,1 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Напруження на поверхні

σ = F/A = 140000/(π·30²/4) = 140000/706,9 = 198,1 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa
στxyCσ1​σ2​

Коло Мора

C = σ/2 = 99,03 MPa
R = √(99,03² + 188,6²) = 213 MPa
σ1 = C + R = 312,1 MPa
σ2 = C − R = −114 MPa

Відповідь

σ1 = 312,1 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,04329 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,04329 rad

Відповідь

θA = 0,04329 rad

Це 2,48°.

12.Прогин балки

Відповідь: MA = 11,25 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

MA = P·L/2 − RB·L = 30 − 18,75 = 11,25 kN·m

Відповідь

MA = 11,25 kN·m
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 8,721 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Відповідь

Pcr = 8,721 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 226,6 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/15 = 93,33

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Відповідь

σcr = 226,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials