Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з бронза (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 110 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 50 kNділянка 1: Ø35 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) передає 20 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP₁ = 80 kN у 4 mP₂ = 80 kN у 5 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 0 m35 kN @ 6 m50 kN @ 2 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 220 mm і внутрішній діаметр d = 212 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 220 mmd = 212 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 110 × 16 mm, стінку висотою 220 mm і товщиною 16 mm та нижню полицю 260 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 110 × 16 mmстінка: 16 × 220 mmнижня полиця: 260 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −40 MPa і σᵧ = 20 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 70 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 10 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δ_max посередині прольоту.

P = 29 kNL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 16,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/1,212 × 10⁻⁵ = 16500 N = 16,5 kN

Відповідь

P = 16,5 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,193 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·500/200000 = 0,1299 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·500/117000 = 1,063 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,193 mm

Відповідь

δ = 1,193 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,78 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0,258 rad

φ = 0,258·180/π = 14,78°

Відповідь

φ = 14,78°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 62,48 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·40)) = 31,89 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 62,48 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(31,89, 62,48) = 62,48 mm

Відповідь

d = 62,48 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 280 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·4 + 80·5

R_B = 720/8 = 90 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 90 = 70 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·4 = 70·4 = 280 kN·m

під P₂: M = R_B·3 = 90·3 = 270 kN·m

Найбільше значення

M_max = 280 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 280 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 117,5 kN, R₂ = 62,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = 2,5, M_D = 0, M_E = −12,5, M_F = −35, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −55 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 76,38 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 2714 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,584 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,584 × 10⁷/2714) = 76,38 mm

Відповідь

r = 76,38 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 72,09 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 1760 mm², y = 238 mm

стінка: A = 3520 mm², y = 120 mm

нижня полиця: A = 2600 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (1760·238 + 3520·120 + 2600·5)/7880 = 108,4 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 110·16³/12 + 1760·129,6² = 2,959 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·220³/12 + 3520·11,59² = 1,467 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 260·10³/12 + 2600·103,4² = 2,783 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,959 × 10⁷ + 1,467 × 10⁷ + 2,783 × 10⁷

I_x = 7,209 × 10⁷ mm⁴ = 72,09 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 72,09 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 74,16 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (−40 + 20)/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 70 − (−10) = 80 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 30²) = 74,16 MPa

Відповідь

τ_xy = 74,16 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 20,15 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 30 + 0·0,1736 + −10·0,9848 = 20,15 MPa

Відповідь

σ_θ = 20,15 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 23,34 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1000²·5000²/(3·5,95 × 10¹¹·6000) = 23,34 mm

Відповідь

δ_P = 23,34 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 47,05 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 29000 N, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 23,53 mm

Додайте обидві сили

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 47,05 mm

Відповідь

δ_max = 47,05 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,968 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/4200² = 5968 N = 5,968 kN

Відповідь

P_cr = 5,968 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials