Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 20 mm закручують моментом 50 N·m. Два кінці розрахункової довжини 400 mm повертаються один відносно одного на 2,81° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 15 kW при 300 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa, а кут закручування — 0,5° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 20 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 1 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mM₀ = 20 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань x_c від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 8 mw = 8 kN/m від 0 до 8 mопори в x = 0 і x = 6 m

x_c = m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 160 × 20 mm, стінку висотою 190 mm і товщиною 12 mm та нижню полицю 280 × 14 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 160 × 20 mmстінка: 12 × 190 mmнижня полиця: 280 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1500 mm і товщиною стінки 6 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 30° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τ_n|, що діє вздовж зварного шва.

D = 1500 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

11.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 10882 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1273/117000 = 0,01088 = 10882 µε

Відповідь

ε = 10882 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 598,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·9,975 × 10⁸ = 598473 N = 598,5 kN

Відповідь

P_max = 598,5 kN

3.Кручення валів

Відповідь: G = 25,96 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Модуль зсуву

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0,04904) = 25961 MPa

G = 25,96 GPa

Відповідь

G = 25,96 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 51,37 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 51,37 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(39,32, 51,37) = 51,37 mm

Відповідь

d = 51,37 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 15 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/4 = 5 kN (вгору)

R_A = −R_B = −5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·1 + 20 = 15 kN·m

Відповідь

M_x = 15 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: x_c = 5,333 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·8·4

R_B = 256/6 = 42,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 42,67 = 21,33 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·21,33/8 = 5,333 m

Відповідь

x_c = 5,333 m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 65,21 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

стінка: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·290 + 5040·140)/7040 = 182,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·20³/12 + 2000·(290 − 182,6)² = 2,313 × 10⁷ mm⁴

стінка: 18·280³/12 + 5040·(140 − 182,6)² = 4,208 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,313 × 10⁷ + 4,208 × 10⁷ = 6,521 × 10⁷ mm⁴ = 65,21 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 65,21 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 82,66 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3200 mm², y = 214 mm

стінка: A = 2280 mm², y = 109 mm

нижня полиця: A = 3920 mm², y = 7 mm

Центр ваги

ȳ = (3200·214 + 2280·109 + 3920·7)/9400 = 102,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 160·20³/12 + 3200·111,8² = 4,01 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·190³/12 + 2280·6,791² = 6,964 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 280·14³/12 + 3920·95,21² = 3,56 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,01 × 10⁷ + 6,964 × 10⁶ + 3,56 × 10⁷

I_x = 8,266 × 10⁷ mm⁴ = 82,66 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 82,66 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 71,59 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((120 − −10)/2)² + 30²) = 71,59 MPa

Відповідь

τ_max = 71,59 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τ_n| = 40,59 MPa

Напруження в стінці

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/6 = 187,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 93,75 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τ_n| = (187,5 − 93,75)·sin 30°·cos 30° = 40,59 MPa

Відповідь

|τ_n| = 40,59 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 17,47 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1500²·2500²/(3·1,61 × 10¹²·4000) = 17,47 mm

Відповідь

δ_P = 17,47 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 332,7 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·20) = 3,068 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,068 × 10⁸/100)^1/3 = 332,7 mm

Відповідь

h_req = 332,7 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,366 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Відповідь

P_cr = 2,366 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 80,32 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 80,32 mm

Відповідь

d = 80,32 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 139,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials