Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 100 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 105 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 50 mm, внутрішній діаметр 38 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 1000 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 50 mm закріплений в A. У B, на відстані 2 m від A, діє обертовий момент 200 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,5 m далі, діє момент 100 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 100 N·mAB = 2 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 3 m35 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mw = 20 kN/m від 2 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 60 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отвору: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 60 mm сприймає згинальний момент 1000 N·m разом з обертовим моментом 1500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 12 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 5 mP = 30 kN у 2,5 m

M_A = kN·m

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 22,1 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/113,1 = 884,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 884,2/100000 = 0,008842 = 8842 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,008842·2500 mm = 22,1 mm

Відповідь

δ = 22,1 mm

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 522,2 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 83,56 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 522,2 MPa

Відповідь

σ_max = 522,2 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 13,47 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Кут закручування

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·408885) = 0,2352 rad

φ = 0,2352·180/π = 13,47°

Відповідь

φ = 13,47°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 12,22 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 200 = 300 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·50³) = 12,22 MPa

Відповідь

τ_max = 12,22 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 54,17, M_C = 73,33, M_D = 92,5 kN·m, M_E = 61,67, M_F = 30,83, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 92,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 95,98 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3·3,5

R_B = 210/8 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 26,25 = 33,75 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 33,75/20 = 3,688 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 33,75·3,688 − 20·1,688²/2 = 95,98 kN·m

Відповідь

M_max = 95,98 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 2827·52,5)/(30000 − 2827) = 77,34 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−2,341² = 56,41 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−24,84² = 2,381 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 127,7 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стінка: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·155 + 1400·70)/8600 = 141,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·30³/12 + 7200·(155 − 141,2)² = 1,919 × 10⁶ mm⁴

стінка: 10·140³/12 + 1400·(70 − 141,2)² = 9,376 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,919 × 10⁶ + 9,376 × 10⁶ = 1,13 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 170 − 141,2 = 28,84 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·28,84/1,13 × 10⁷ = 127,7 MPa

Відповідь

σ_верх = 127,7 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 63,25 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−20 − 20)/2)² + 60²) = 63,25 MPa

Відповідь

τ_max = 63,25 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 66,09 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47,16 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 23,58 MPa

R = √(23,58² + 35,37²) = 42,51 MPa

σ₁ = C + R = 66,09 MPa

σ₂ = C − R = −18,93 MPa

Відповідь

σ₁ = 66,09 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 32,08 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 8,02 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006015 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 32,08 mm

Відповідь

δ_B = 32,08 mm

12.Прогин балки

Відповідь: M_A = 28,13 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·30/16 = 9,375 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 75 − 46,88 = 28,13 kN·m

Відповідь

M_A = 28,13 kN·m

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,188 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/6000² = 8188 N = 8,188 kN

Відповідь

P_cr = 8,188 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/20 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials