Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 90 kNділянка 1: Ø30 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 1 m, алюміній (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 3 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 750 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 3 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 20 kN/m від 7 до 9 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 50° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 0 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 30 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 100 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 100 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 28 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 22,18 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/1,353 × 10⁻⁵ = 22176 N = 22,18 kN

Відповідь

P = 22,18 kN

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 12 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1000/200000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·1000/70000 = 11,37 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12 mm

Відповідь

δ = 12 mm

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 8,021 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·3000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,0221 rad

φ_BC = 750000·1000/(80000·79522) = 0,1179 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,0221 + 0,1179 = 0,14 rad = 8,021°

Відповідь

φ_C = 8,021°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 29,6 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Відповідь

d = 29,6 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 42,5, M_C = 80, M_D = 107,5 kN·m, M_E = 80, M_F = 42,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 107,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 57,6 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, прикладена в x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2·8

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 32 = 8 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 7) = 0

x₀ = 7 + 8/20 = 7,4 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 7)²/2 = 8·7,4 − 20·0,4²/2 = 57,6 kN·m

Відповідь

M_max = 57,6 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 71,11 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

стінка: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·270 + 5200·130)/8800 = 187,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 180·20³/12 + 3600·(270 − 187,3)² = 2,476 × 10⁷ mm⁴

стінка: 20·260³/12 + 5200·(130 − 187,3)² = 4,635 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,476 × 10⁷ + 4,635 × 10⁷ = 7,111 × 10⁷ mm⁴ = 71,11 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 71,11 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 191,6 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

стінка: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·127,5 + 1920·60)/5820 = 105,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·15³/12 + 3900·(127,5 − 105,2)² = 2,007 × 10⁶ mm⁴

стінка: 16·120³/12 + 1920·(60 − 105,2)² = 6,232 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,007 × 10⁶ + 6,232 × 10⁶ = 8,239 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 105,2 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·105,2/8,239 × 10⁶ = 191,6 MPa

Відповідь

σ_низ = 191,6 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 36,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −15 − 15·(−0,1736) − (−50)·0,9848 = 36,85 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −66,85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 36,85 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 142,7 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 18,86²) = 142,7 MPa

Відповідь

τ_max = 142,7 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 25,83 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 25,83 mm

Відповідь

δ = 25,83 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 16,2 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 28000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 16,2 mm

Відповідь

δ_max = 16,2 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,888 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Відповідь

P_cr = 5,888 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,957 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7,5 = 373,3

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373,3² = 4,957 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,957 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials