Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (мідь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 50 kNділянка 1: Ø40 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 20 mm закручують моментом 40 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 1,4° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1,4°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 30 kW при 1450 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 9,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 5 kN/m від 0 до 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 140 mm і внутрішній діаметр d = 116 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 140 mmd = 116 mm

r = mm

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 140 mm і товщиною 18 mm, повну висоту 200 mm і стінку товщиною 10 mm. Він сприймає згинальний момент 50 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину нормального напруження при згині σ_j у місці з’єднання стінки з верхньою полицею.

B = 140 mmH = 200 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 0 MPa, σᵧ = −10 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Знайдіть еквівалентне напруження за Мізесом σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 11 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 75 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/250. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 75 mm

h_req = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 2338 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Деформація (закон Гука)

E for мідь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/117000 = 0,002338 = 2338 µε

Відповідь

ε = 2338 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 2,586 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·1000/200000 = 0,1989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 159,2·1500/100000 = 2,387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,586 mm

Відповідь

δ = 2,586 mm

3.Кручення валів

Відповідь: G = 26,05 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Модуль зсуву

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,02443) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Відповідь

G = 26,05 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 27,2 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·50)) = 27,2 mm

Відповідь

d = 27,2 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 11,88 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Розріжте в x = 9,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 25·9,5 − 5·9,5·4,75 = 11,88 kN·m

Відповідь

M_x = 11,88 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 45 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 50 kN·m, M_D = 15, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 50 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 45,45 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 4825 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,969 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(9,969 × 10⁶/4825) = 45,45 mm

Відповідь

r = 45,45 mm

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_j = 90,01 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 200 − 2·18 = 164 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·200³ − 130·164³)/12

I_x = 4,555 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 100 − 18 = 82 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·82/4,555 × 10⁷ = 90,01 MPa

Відповідь

σ_j = 90,01 MPa

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 50,25 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((0 − −10)/2)² + −50²) = 50,25 MPa

Відповідь

τ_max = 50,25 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_vM = 55,68 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 10 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 41,62 MPa, σ₂ = −21,62 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(41,62² − 41,62·(−21,62) + (−21,62)²) = 55,68 MPa

Відповідь

σ_vM = 55,68 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 47,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 14,49 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02174 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 47,1 mm

Відповідь

δ_B = 47,1 mm

12.Прогин балки

Відповідь: h_req = 156,5 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/75)^1/3 = 156,5 mm

Відповідь

h_req = 156,5 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 191 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2100² = 190976 N = 191 kN

Відповідь

P_cr = 191 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,676 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials