Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (сталь) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 110 ГПа, допустиме напруження 80 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 75 mm і довжину 0,8 m; ділянка BC має діаметр 60 mm і довжину 3 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 500 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 60 mm, L₂ = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 30 mm закріплений в A. У B, на відстані 3 m від A, діє обертовий момент 500 N·m, а на вільному кінці C, ще на 0,8 m далі, діє момент 250 N·m у тому самому напрямку. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 10 kN/m від 0 до 6 mx = 2 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 12 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 140 × 24 mm, стінку висотою 170 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 300 × 18 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 140 × 24 mmстінка: 10 × 170 mmнижня полиця: 300 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 10 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 15° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 50 mm сприймає згинальний момент 750 N·m разом з обертовим моментом 1500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 14 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 95 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 95 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 3095 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/200000 = 0,003095 = 3095 µε

Відповідь

ε = 3095 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 391,8 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0007273) = 0,0007273 (бронза)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007273·5,388 × 10⁸ = 391842 N = 391,8 kN

Відповідь

P_max = 391,8 kN

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 2,882 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·800/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,004953 rad

φ_BC = 500000·3000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,04534 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,004953 + 0,04534 = 0,0503 rad = 2,882°

Відповідь

φ_C = 2,882°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 141,5 MPa

Внутрішні крутні моменти

Напрямок T_C прийнято за додатний.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Найбільше дотичне напруження

Ділянка з найбільшим внутрішнім крутним моментом має найбільше напруження (діаметр однаковий).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Відповідь

τ_max = 141,5 MPa

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 10 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 30 − 10·2 = 10 kN

Відповідь

V_x = 10 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 112,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 50, M_D = −15, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −140 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 50,47 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стінка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·275 + 2600·130)/7400 = 224,1 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 160·30³/12 + 4800·(275 − 224,1)² = 1,282 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 224,1)² = 3,765 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,282 × 10⁷ + 3,765 × 10⁷ = 5,047 × 10⁷ mm⁴ = 50,47 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 50,47 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 80,57 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 3360 mm², y = 200 mm

стінка: A = 1700 mm², y = 103 mm

нижня полиця: A = 5400 mm², y = 9 mm

Центр ваги

ȳ = (3360·200 + 1700·103 + 5400·9)/10460 = 85,63 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 140·24³/12 + 3360·114,4² = 4,411 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·170³/12 + 1700·17,37² = 4,607 × 10⁶ mm⁴

нижня полиця: 300·18³/12 + 5400·76,63² = 3,186 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,411 × 10⁷ + 4,607 × 10⁶ + 3,186 × 10⁷

I_x = 8,057 × 10⁷ mm⁴ = 80,57 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 80,57 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 14,38 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 80 − 70·0,866 − 10·0,5 = 14,38 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 145,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 14,38 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 68,33 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 61,12²) = 68,33 MPa

Відповідь

τ_max = 68,33 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 53,03 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 14000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 6,239 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01872 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 53,03 mm

Відповідь

δ_B = 53,03 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 59,88 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·8000³/(48·1,14 × 10¹³) = 3,743 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 56,14 mm

Додайте

δ_max = 3,743 + 56,14 = 59,88 mm

Відповідь

δ_max = 59,88 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,867 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Відповідь

P_cr = 6,867 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: d = 118,3 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 118,3 mm

Відповідь

d = 118,3 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 338, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials