Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження
σ = F/A
Деформація
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Видовження
ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація
εT = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження
τ = T·r/J
Суцільний вал
J = πd⁴/32
Порожнистий вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування
φ = TL/(GJ)
Потужність
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
  2. Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
  3. Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
  4. Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямокутник
I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей
I = Ic + A·d²
Складений переріз
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр
C = (σx + σy)/2
Радіус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Головні напруження
σ1,2 = C ± R
Головний напрямок
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Похила площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
  4. Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня
Ø 16 mmСталь0,5 mP = 40 kN

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 40 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Осьове напруження й деформаціяСкладна
100 kN12600 mm300 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 100 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ2 в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Кручення валівСередня
T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,8 mφ = ?

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Кручення валівСкладна
d = 60 mmT0​ = 750 N·mACBa = 2 mb = 0,8 m

Суцільний вал (алюміній) діаметром 60 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 2 m від A і 0,8 m від B, прикладено обертовий момент 750 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τmax у валу.

d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 2 mb = 0,8 m
τmax = MPa
5.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 35 kN·mAB6 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 35 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 6 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM0 = 35 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 6 m
Mx = kN·m
6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 24 kN/mAB3 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 4 mw = 24 kN/m від 0 до 3 m
Mmax = kN·m
7.Центр ваги й момент інерціїСередня
2601016018xрозміри в mm

Знайдіть момент інерції Ix таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерціїСкладна
2001010016xM = 10 kN·mрозміри в mm

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 10 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 100 mmM = 10 kN·m
σниз = MPa
9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня
σx​ = −40σy​ = −30τxy​ = −10MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −10 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θp від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σx = −40 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна
σx​ = −10σy​ = 50τxy​ = 50MPa

У точці навантаженої деталі σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σθ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σx = −10 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mδL = 3 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колонСередня
PL = 5 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Стійкість колонСкладна
P = 85 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 85 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 85 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,4974 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/200000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0009947·500 mm = 0,4974 mm

Відповідь

δ = 0,4974 mm
2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ2 = 33,63 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

Частка ділянки 2

F2 = 100000·458149/693768 = 66038 N

Напруження

σ2 = 66038/1963 = 33,63 MPa (стиск)

Відповідь

σ2 = 33,63 MPa
3.Кручення валів

Відповідь: φ = 14,94 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·38350) = 0,2608 rad
φ = 0,2608·180/π = 14,94°

Відповідь

φ = 14,94°
4.Кручення валів

Відповідь: τmax = 12,63 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише TA + TB = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0,8/2,8 = 214,3 N·m
TB = 750·2/2,8 = 535,7 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τmax = 16·535714/(π·60³) = 12,63 MPa

Відповідь

τmax = 12,63 MPa
5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 8,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/8 = 4,375 kN (вгору)
RA = −RB = −4,375 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить RA і зосереджений момент.

Mx = RA·a + M0 = −4,375·6 + 35 = 8,75 kN·m

Відповідь

Mx = 8,75 kN·m
6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 42,19 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 24·3·1,5
RB = 108/4 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 27 = 45 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з RA, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 45/24 = 1,875 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 45·1,875 − 24·1,875²/2 = 42,19 kN·m

Відповідь

Mmax = 42,19 kN·m
7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: Ix = 16,04 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
стінка: Aw = 18·160 = 2880 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·165 + 2880·80)/5480 = 120,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 260·10³/12 + 2600·(165 − 120,3)² = 5,21 × 10⁶ mm⁴
стінка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 120,3)² = 1,083 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,21 × 10⁶ + 1,083 × 10⁷ = 1,604 × 10⁷ mm⁴ = 16,04 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ix = 16,04 × 10⁶ mm⁴
8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σниз = 199,4 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
стінка: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Центр ваги

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·105 + 1600·50)/3600 = 80,56 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·10³/12 + 2000·(105 − 80,56)² = 1,212 × 10⁶ mm⁴
стінка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 80,56)² = 2,827 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,212 × 10⁶ + 2,827 × 10⁶ = 4,039 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 80,56 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·80,56/4,039 × 10⁶ = 199,4 MPa

Відповідь

σниз = 199,4 MPa
9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θp = −58,28 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

σxyCσ1​σ2​

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, −40 − −30) = −116,6°

Кут на елементі

θp = −58,28°

Відповідь

θp = −58,28°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σθ = 74,45 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення

σθ = 20 + −30·−0,1736 + 50·0,9848 = 74,45 MPa

Відповідь

σθ = 74,45 MPa
11.Прогин балки

Відповідь: δ = 38,06 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 38,06 mm

Відповідь

δ = 38,06 mm
12.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,26 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,26 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 2,26 × 10⁶ mm⁴
13.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 3,672 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3500² = 3672 N = 3,672 kN

Відповідь

Pcr = 3,672 kN
14.Стійкість колон

Відповідь: d = 70,76 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 70,76 mm

Відповідь

d = 70,76 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 113,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials