Опір матеріалів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 30 мм, довжина 500 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 200 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) передає 15 kW при 1000 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 0,25° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M₀ = 15 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 5 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент M_x безпосередньо праворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mM₀ = 15 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 5,5 mw = 12 kN/m від 0 до 5,5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_max = kN·m

7.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 120 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 50 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 140 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 120 mmh = 200 mmвиріз: 50 × 30 mmцентр отвору: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 25° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 30° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 17 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 28 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Осьове напруження й деформація

Відповідь: ε = 1920 µε

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Деформація (закон Гука)

E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/70000 = 0,00192 = 1920 µε

Відповідь

ε = 1920 µε

2.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 20,06 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·155509/658164 = 14177 N

Напруження

σ₂ = 14177/706,9 = 20,06 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 20,06 MPa

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 30,06 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0,9375)) = 30,06 mm

d_i = 0,5·30,06 = 15,03 mm

Відповідь

d_o = 30,06 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 29,42 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 59,88 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

d_τ = ∛(16·143239/(π·80)) = 20,89 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·143239/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 59,88 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(20,89, 59,88) = 59,88 mm

Відповідь

d = 59,88 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 5,625 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: R_B·L − M₀ = 0. Рівновага по вертикалі: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/8 = 1,875 kN (вгору)

R_A = −R_B = −1,875 kN (вниз)

Переріз безпосередньо праворуч від зосередженого моменту

Тепер ліва частина містить R_A і зосереджений момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −1,875·5 + 15 = 5,625 kN·m

Відповідь

M_x = 5,625 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 17,72 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5,5 = 66 kN, прикладена в x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5,5·2,75

R_B = 181,5/4 = 45,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,38 = 20,63 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 20,63/12 = 1,719 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 20,63²/(2·12) = 17,72 kN·m

Відповідь

M_max = 17,72 kN·m

7.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,022 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

стінка: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·127,5 + 2400·60)/4500 = 91,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·15³/12 + 2100·(127,5 − 91,5)² = 2,761 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·120³/12 + 2400·(60 − 91,5)² = 5,261 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,761 × 10⁶ + 5,261 × 10⁶ = 8,022 × 10⁶ mm⁴ = 8,022 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,022 × 10⁶ mm⁴

8.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·100 − 1500·140)/(24000 − 1500) = 97,33 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

120·200³/12 + 24000·2,667² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

50·30³/12 + 1500·42,67² = 2,843 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

9.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = 113,1 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = 80 − 20·0,6428 − (−60)·0,766 = 113,1 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = 46,89 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = 113,1 MPa

10.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −4,641 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 50 + −40·0,5 + −40·0,866 = −4,641 MPa

Відповідь

σ_θ = −4,641 MPa

11.Прогин балки

Відповідь: δ = 19,08 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·3000³/(3·1,12 × 10¹³) = 13,66 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 5,424 mm

Додайте

δ = 13,66 + 5,424 = 19,08 mm

Відповідь

δ = 19,08 mm

12.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 2,514 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 28000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,514 mm

Відповідь

δ_max = 2,514 mm

13.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,481 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Відповідь

P_cr = 2,481 kN

14.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,318 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials